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《部分习题解-黎永锦《泛函分析讲义》的word文档》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、黎永锦-部分习题解答部分习题解答意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了,好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这解答纳入当代流行的概念和符号体系之中L.Bers（贝尔斯）（1914-1993,美国数学家）习题一1.2设,对任意,,,试证明和为上的两个度量,且存在序列,,使得,但不收敛于0.1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量和为上的两个度量.（2）取当时,,当时,则且,但.因此,但不收敛于0.157黎永锦-部分习题解答1.4试找出一个度量空间,在中有两点,但不存在,使得.1.4证明：在上取离散度量,则对于,有,但不存在
2、,使得.1.6在中,设为的非空子集,为开集,试证明为开集.1.6证明：由可知,对任意,有,若G是开集,则对于任意,有开球.故,因而,从而对任意是开集,由可知是开集.1.8在中,设只有限个不为0},试证明不是紧集.1.8证明：取,当时,当时,,则,且,这里,但,因此M不是闭集,所以不是紧集.1.10设为度量空间,,试证明.1.10证明：对于任意,有,故,因而,从而.对于任意,有,因而存在,故,从而,故.所以,.1.12设为度量空间,,试证明为到的连续算子.157黎永锦-部分习题解答1.12证明：对于任意,有.故类似地,有因此所以,时,必有,即是连续函数.1.14设为度量空间,为闭集,试证
3、明存在可列个开集,使.1.14证明：由于F是闭集,因此,又因为是连续的,所以对任意是开集,从而对于开集,有，所以.1.16试证明是完备的度量空间.1.16证明：设为的列,则对于任意,存在N,使得时有.故对每个固定的i,有.因此是列.因而存在,使得,令,则由可知157黎永锦-部分习题解答故 由于,因此存在常数使得.又由可知对任意i及成立.故所以,,即是完备的度量空间.1.18证明中的有界闭集不一定是紧集.1.18证明：令,则M是的有界闭集,但M是不紧集.1.20设,试证明为度量空间,但不是完备的.1.20证明：容易验证是的度量.取,,则为的列，但没有极限点，因此不是收敛列，所以不是完备
4、的.1.22试证明度量空间上的实值函数是连续的当且仅当对于任意,和都是的闭集.1.22证明:若度量空间上的函数是连续的,则明显地,对于任意,和都是的闭集.如果对于任意,和都是的闭集,则于任意,容易知道是开集,对于R上的开集,有的构成区间,使得,因而157黎永锦-部分习题解答是开集,所以f是连续的.1.24设R为实数全体,试在R上构造算子,使得对任意,,都有,但没有不动点.1.24证明：(1)设R为实数全体,则对任意,由可知但f(x)没有不动点.实际上,若,则,因而矛盾.(2)设则对任意,由可知但f(x)没有不动点.实际上,若,则,矛盾,所以f(x)没有不动点.1.25设函数在上连续,处
5、处都有偏导数,且满足试证明在上有唯一的连续解.提示：定义:为证明为压缩算子,然后利用S.Banach不动点定理.1.26设为度量空间,为到的算子,若对任意,,都有157黎永锦-部分习题解答,且有不动点,试证明的不点是唯一的.1.26证明：反证法,假设A有两个不动点,使得,则但这与矛盾,所以A只有唯一的不动点.1.27设为度量空间,且为紧集,为到的算子,且时,有,试证明一定有唯一的不动点.证明思路：构造上的连续泛函,利用紧集上的连续泛函都可以达到它的下确界,证明存在,使得,就是的不动点.1.28试构造一个算子,使得不是压缩算子,但是压缩算子.1.28证明：定义,则不是压缩算子,但是压缩算
6、子.1.30设,,试证明是压缩算子.1.30证明：由,可知,所以是压缩算子.习题二2.2设为赋范线性空间,为上的范数,定义157黎永锦-部分习题解答试证明为度量空间,且不存在上的范数,使得.2.2证明：由度量的定义可知是X上的度量.假设存在X上的范数,使得,则对于,一定有.如果取,则,但是,因此不成立,所以一定不存在X上的范数,使得.2.4设是赋范空间的线性子空间,若是的开集,证明.2.4证明：由于M是线性子空间,因此.由M是开集可知存在.因而对于任意,有,从而,因为M是线性子空间,所以,即.2.6设是赋范线性空间,若且,试证明.2.6证明：由可知存在,使得,故所以,.157黎永锦-部
7、分习题解答2.10在中,若是中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明是的线性子空间,但不是闭的.2.10证明：明显地M是线性子空间,取,则且,但,所以M不是闭的子空间.2.12设,满足对任意成立，若在上连续,试证明是线性的.2.12证明：由可知,对所有正整数都成立.并且,故对所有正整数都成立.因此所有正有理数都有成立,由和可知并且,因而对所有有理数都有成立.由于在上连续,因此,对于任意,有,使得,从而,所以是线性的.2.14设是有限维空间,为的
