泛函分析讲义

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1、第三章赋范空间3.1.范数的概念“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？3.1.1.向量的长度为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向

2、量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。图3.1.1.三维欧氏空间中向量的大小和方向矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。

3、实际上，可以在数域上的维欧式空间上定义向量的如下三种长度（称为“范数”）：l2-范数（也称为欧氏范数）：；l1-范数：；l-范数：。图3.1.2.三种向量范数对应的“单位圆”图3.1.3.“单位圆”集合的艺术形式下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。我们注意到：通常将或中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，长度是比距离更本质的概念。3.1.2.范数的定义我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性

4、空间的场合。定义3.1.1.设是数域上的线性空间，是定义在上、取值为实数的函数。如果下列条件满足：（1）正定性：对于任意，都有，并且等号成立当且仅当；（2）正齐性：对于任意，，都有；（3）三角不等式：；则称是上的范数（norm）。称赋予了范数的线性空间为赋范线性空间（normedlinearspace），或者简称为赋范空间（normedspace）。图3.1.1.三角不等式示意图3.1.3.常用的范数下面列出常用的赋范空间。例3.1.1：设是数域上的紧度量空间，用表示定义在上、在中取值的全体连续映射的集合。

5、可以在上定义如下范数：对于，。例3.1.2：对于，可以在上定义如下范数：对于，。例3.1.3：可以在上定义如下范数：对于，。注释：函数的1-范数、2-范数、-范数分别是向量的1-范数、2-范数、-范数的自然推广。（为什么？）例3.1.4：对于，可以在上定义如下范数：对于，。例3.1.5：可以在上定义如下范数：对于，。上述五种范数是泛函分析中最重要的范数，我们将其称为标准范数。例3.1.6：设是赋范线性空间，是的线性子空间，是范数在上的限制，则是上的范数。上述例子表明：可以从较大的赋范线性空间出发，“从大到小

6、”地构造许许多多较小的赋范线性空间。例3.1.7：设和是同一个数域上的赋范线性空间，则在笛卡尔积上可以定义如下范数：对于任意，，则是上的范数。上述例子表明：可以从较小的赋范线性空间出发，“从小到大”地构造无穷无尽的赋范线性空间。范数就像灵魂一样重要：有范数的元素就有了精气神；反之，没有范数的元素就像是孤魂野鬼，完全没有实在感。3.2.范数的基本性质赋范线性空间具有许多独特的性质，这些性质在研究其分析性质时特别有用。3.2.1.范数诱导度量一方面，赋范空间是线性空间。另一方面，下列定理告诉我们：赋范空间还是度

7、量空间。因此，赋范空间是线性空间与度量空间的合体，是为求解算子方程而生的。定理3.2.1.设是赋范空间，定义映射如下：对于任意，，则是度量空间。以下称该度量为范数诱导度量，称相应的度量空间为诱导度量空间。下面列出常用的范数诱导度量。例3.2.1：可以用维向量空间上的2-范数诱导上的如下度量：对于任意，。例3.2.2：可以用例3.1.1中定义的范数诱导上的如下度量：对于任意，。例3.2.3：对于，可以用上的范数诱导上的如下度量：对于任意，。例3.2.4：对于，可以用上的范数诱导上的如下度量：对于，。上述度量都

8、是第二章最后一节介绍的标准度量，由此可见：范数与度量是紧密联系在一起的。3.2.2.极限运算律赋范空间满足下列极限运算交换律。定理3.2.2：设是数域上的赋范空间，则下列性质成立：（1）极限运算-代数运算交换律：设和是中的收敛序列，，则。（2）极限运算-范数运算交换律：设是中的收敛序列，则。赋范空间的上述性质使极限运算变得十分便捷。3.2.3.范数的等价性我们知道，在同一个线性空间上可以赋予各种不同的范数。于是，