泛函分析讲义.doc

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1、泛函分析讲义第二讲：距离空间中的点集关键词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包；稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质；介绍可分空间的定义一、开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。定义1.设，，以为中心，以为半径的开球称为的一个球形邻域，简称为邻域。设若存在的一个邻域则称是G的一个内点。若G中每一个点都是它的内点，则称G为开集。例1．开球都是开集。证明：设为开球。任取,即,令>,,即,则∴即为开集.定理1设为距离空间,则(1>空集全空间是开集.(2>任意多个开集

2、之并是开集.(3>有限个开集之交是开集.证明：设是一族开集，证明为开集。对，，使，由是开集，则存在的一个邻域，从而.∴是的一个内点，从而为开集。(3>.设是开集，，证明是开集。对，则，由是开集，则存在的一个邻域，令，则从而，.从而，所以为开集。定义2设，，，若的任何邻域满足，则称是的一个聚点。其等价条件为：(2>的任何邻域都含有的无穷多个点；(3>，，但.b5E2RGbCAP4/4证明：(1>(2>：若存在x的一个邻域里面只含有的有限个点不妨认为它们都异于取}。则.这与是的聚点相矛盾。p1EanqFDPw(2>(1

3、>：显然。(1>(3>：设是的聚点，取，则的邻域中必含有的点，所以，令，则有.(3>(1>：设为的一个邻域，由，，知存在，当时，，即因此是的一个聚点。设={

4、为的聚点}，若，则称为闭集。闭，则。证明：，设，.要证明。若存在某，则自然有。否则不妨认为，则，又，则。，证明：。，在中存在，。由已知，得。令为的闭包。，，定义3设，，若，使或，则称是的一个孤立点。定理2设，，则下列两条等价：(1>.是闭集；(2>.是开集。证明：：由是闭集，则，则。任取，则不是的聚点。则存在的一个邻域，则，所以是的一个内点。所以是开集。：已知

5、是开集，要证，即，对，由是开集，存在的一个邻域，即中不含中的点，所以，即，所以是闭集。定理3中，是闭集.定理4给定，则(1>空集和全空间是闭集；(2>有限多个闭集之并是闭集；(3>任意多个闭集之交是闭集。证明：利用定理2，以及德摩根公式，如果是闭集，是开集。由开集性质，是开集，∴是闭集。4/4定理5设,则和都是闭集。证明：先证是闭集。需证.设。任取,对，。设，取>0。可知，事实上，对，即，则有且<或）。又，故，设，则.所以.因此即,则为闭。下面证为闭集。设,则对中含有中不同于的点.由于.所以或.若,则中含有的不同于

6、的点.而.所以。若也有.总之中含有的不同于的点。故,即,所以为闭集。定理6给定则(1>，则；(2>若、，则；(3>。一、离空间的稠密集定义4给定，、，若，则称在中稠密。若在中稠密，即，称是的稠密子集。定义5给定，若中存在可数的稠密子集，则称是可分的。例2．维欧氏空间是可分的。证明：为个坐标全为有理数的点组成的集合，则可数，现在证明=。对于，，由于在中稠密<），对及，，使，即，.4/4令，则，∴∴∴=，即在中稠密，是可分的。例2．是可分的。证明：对于，，由维尔斯特拉斯一致逼近定理<设是上定义的连续函数，那么对，存在多

7、项式，使在上一致成立），存在一个多项式，使得DXDiTa9E3d另一方面，又有一个有理系数多项式，使得所以有令表示所有有理系数多项式所组成的集合，为可数集，则，所以是可分的。此外，、、都是可分的。注：有界序列空间是不可分的。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。4/4