2、),VygS(x,£),即Q(兀，刃<8，贝I」pOo,y)
3、jGa,3a(},使XeGa>,由是开集，则存在x的一个邻域S(x,r*)uaelG叫,从而S(x,厂)uael・・・兀是IJGq的一个内点，从^jGa为开集。aelael(3).设G,是开集，i=，证明门6'是开集。1=1对Vxep
4、Gf,则
5、xeG,i=1,2,...,7i,dtlG,是开集，则存在兀的一个邻域/=iS(x,A；)uGj,令r=min{r1,r2,...,rn},贝!J从而5(x,r)<=S(x,ri),i=1,2,...,/?.从而S(x,r)^(ci,所以门Gj为开集。i=i=定义2设X=(X,p),AuX,x0gX,若兀0的任何£-邻域S0o，£)满足(S(Xo，£)-"o}cA工0,，贝I称兀0是A的一个聚点。其等价条件为：(2)兀0的任何£-邻域SO%)都含有A的无穷多个点;(3)3xfleA,兀“工兀°,但xnxQ.证明：(1)=>(2)：若存在x°的一个邻域SCVo，£
6、),里面只含有4的有限个点兀1，兀2,……不妨认为它们都异于兀。•取§=min｛p(xl,x0),p(x2,x0)……/?(£,%)｝。则｛S(兀o,5)-｛勺｝｝门4=0.这与兀°是A的聚点相矛盾。(2)=>(1)：显然。(1)n(3)：设兀。是人的聚点，取丄，则％的邻域S(x°，6)中必含有A的点n兀工所以°(£,兀0)<£”=丄，令n->00，则有Yimxn=x0.n(3)=>(1)：设SOo，£),为尤0的一个邻域，由兀”->心，兀知存在N,当72〉W吋，0(£,兀0)<£,即兀”wSOo，£),因此兀0是A的一个聚点。设Af=｛xx为A的聚点｝,若AuA,
7、则称A为闭集。4闭ofxngA,xn->x0,则x0gAo证明：=>),设xneA,xnx0.要证明x0eAo若存在某=x0,则口然有x0gAo否则不妨认为兀“MX。，则兀0丘人'，乂/VuA，则x0eAou),证明：A'uA。VxeAf,在A屮存在£—>x,xnxo由已知xwA,得/TuA。令A=A'^jA为A的闭包。兀wAoV£>0,S(X,£)CAH0O日｛兀〃｝UA,兀”T兀定义3设Acz(X,/?),兀owA,若五o〉()，使$(兀0，£0)01=｛兀0｝或3(兀0,£0)c(A-“o｝)=0,则称x()是4的一个孤立点。定理2设X=(X,p),AuX，则
8、下列两条等价：(1).A是闭集；(2).是开集。证明：(1)=>(2)：由A是闭集，则"uA,贝\A,r^Ac=(!).贝吒不是A的聚点。则存在x的一个邻域S(x,£)cA=0,贝i」S(x,£)uA°,所以x是八的一个内点。所以人°是开集。(2)=>(1):已知"是开集，要证A'uA,即Ac(=(Ar)c,对VxeAc,由"是开集，存在x的一个邻域S(x,g)uA°,即S(x,g)屮不含A屮的点，所以"“，即"(A')。，所以A是闭集。定理3X=(X,p)屮，A是闭集<=>A=A.定理4给定X=(X,p),则(1)空集0和全空间X是闭集；(2)有限多个闭集之并是闭
9、集；(3)任意多个闭集之交是闭集。证明：利用定理2,以及德摩根公式，如果［
10、片，片是闭集，C(U^)=r
11、FAF：/=1f=l1=1是开集。由开集性质，门砰是开集，・•・□片是闭集。1=1/=1定理5设Au(X,p),则"和入都是闭集。证明：先证4’是闭集。需证A"u4'•设4〃北0。任取x()w/T,对力〉0,(S(兀(),厂)一｛x()｝)co设yg(5(x0,r)-｛x0))nA',取£=min｛r-p(x0,y),0(兀0，刃｝>0。可知S(y,彳)uS(兀o，r)，事实上，对Vzg,即p(y,z)
