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1、第二讲:距离空间中的点集关键词:领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包;稠密子集、可分的主要内容:介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质;介绍可分空间的定义一、开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间小去。定义1・设x0e(X,/7),r>0,以%为屮心,以厂为半径的开球S(x0,r)称为%的一个球形邻域,简称为邻域。设GuX,xwG,若存在x的一个邻域S(x°,厂)uG,则称兀是G的一个内点。若G屮每一个点都是它的内点,则称G为开集。例1・开球都是开集。证明:设S(x0,r)为开球。任取兀wSOo,厂),即/X兀,兀o)<厂,令£=厂-。0*0
2、),Vy€S(X,£),即/?(兀,y)V£,贝!
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6、G「所以为开集。/=!/=1定义2设X=(X,q),4uX,x0gX,若兀。的任何£-邻域S(x°,刃满足(SOo,刃-{Xo}cAH0,,则称兀0是A的一个聚点。其等价条件为:(2)x0的任何£-邻域SO%)都含有A的无穷多个点;(3)3xneA,xnx0,但a;,->x0.第二讲:距离空间中的点集关键词:领域、内
7、点、开集、聚点、导集、闭集、闭包;稠密子集、可分的主要内容:介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质;介绍可分空间的定义一、开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间小去。定义1・设x0e(X,/7),r>0,以%为屮心,以厂为半径的开球S(x0,r)称为%的一个球形邻域,简称为邻域。设GuX,xwG,若存在x的一个邻域S(x°,厂)uG,则称兀是G的一个内点。若G屮每一个点都是它的内点,则称G为开集。例1・开球都是开集。证明:设S(x0,r)为开球。任取兀wSOo,厂),即/X兀,兀o)<厂,令£=厂-。0*0),Vy€S(X,£),即/?(兀,y)
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11、jXgGti=1,2,...,n,由G,是开集,则存在x的一个邻域/=!SCx,/;)uGf,令厂=min{斤,厂2,…,乙},则从血S(x,厂)uS(兀,匚),i-1,2,...,/z.从而HHS(w)u「
12、G「所以为开集。/=!/=1定义2设X=(X,q),4uX,x0gX,若兀。的任何£-邻域S(x°,刃满足(SOo,刃-{Xo}cAH0,,则称兀0是A的一个聚点。其等价条件为:(2)x0的任何£-邻域SO%)都含有A的无穷多个点;(3)3xneA,xnx0,但a;,->x0.证明:(i)=>(2):若存在X。的一•个邻域sa°,£),里面只含有人的有限个
13、点兀],兀2,……xn-不妨认为它们都异于兀0•取/=min{pO],兀o),Q(兀2,兀0)……p(xn,x0)}。则{S(兀°,5)-氐}}PlA=0.这与xQ是A的聚点相矛盾o⑵=>(1):显然。(1)^(3):设X。是A的聚点,取6;,则X。的邻域Sa。,-)屮必含有A的点n兀“工兀0,所以。(兀“,兀0)<£“=一,令>00,则有limx„=x0.n(3)=>(1):设S(兀o,£),为兀°的一个邻域,由乙一>兀0,X”学X©,知存在N,当〃>N时,P(Xn,X0)14、/TuA,则称A为闭集。