[精品]泛函分析作业(一)

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1、泛函分析作业(一)BY0807112吴耀第一题(0,1)和［0,1］是如何对应的。解答：(构造一)设(0,1)区间的全体有理数集合为Q，全体无理数集合为R,则有:(o,i)=eu/?,en/?=o[o,i]={o}U{i}ueu/?Q为可列集，町以表示为Q={%,%,・・.叫,...},口J作映射/:［0,1］——(0,1)如下：m,m./(x)=1叫+2Xx=0x=1x-叫，n=1,2,...xeR可见，以上映射为一一映射，故(0,1)和［0,1］对等。(构造二)记集合M=，做如下映射/:［0,1］t(0,1)23n1/2,x=0f(x)=

2、2,…x.xeN可见，以上映射为一一映射,故(0,1)和［0,1］对等。第二题证明Cantor集K是完备的。证明：在Cantor中任取一点X。,根据定义，>0,3A^e,n>N时即对任何5>0,B(兀(),5)包含点£(〃工0),即兀。为K的极限点(聚点)，因此K是完备的。第三题举两个非连续可测函数的例子，至少有一个不是几乎处处为()的函数解答：1、考虑Dirichlet函数D(x)=1,兀为有理数rn0,x为无理数XE［，设E=E2E2，E］为［0,1］上的冇理数，E?为［0,1］上的无理数,显然E&E2M，由于Q是可列点集，所以/??(£,)=0,即有D(x)=0,a.e于

3、E。显然这个函数可测，且非连续。2、考虑定义在E=LO,1J上的函数，以及［0,1］子集S=｛x=^-r为［0,4］上的有理数｝，因为S与［0,4］上的有理数对等，由有理数集可列可知S是可列集，可定义函数如门fM=0,XGS1,"Sxe[0,l]显然加(S)=0,即有/*(兀)=1,q.匕于Eo显然这个函数可测，且非连续。第四题举两个举例线性空间的例子，至少有一个是无穷维的。解答：1、考虑n维欧式空间7?"先定义线形运算：0x=｛§,g2，・・・,^｝,y=｛77i，〃2，・・・，z｝，awK,定义：兀+歹=｛§1+帀，金+“2，・・・，盒+久｝ax=｛a^a^...,a^n

4、显然按照上血的加法和数乘是线性空间。定义距离：n丄〃(X，y)=(工@-久)2)2,0兀=E，)，=｛口,〃2,…,仏和川1=1则有：0兀=｛§,§2，・・・，化｝』=｛〃1，772，・・・，〃2｝，乙=｛入,人,・・・仏｝丘尺"n1d(x,y)=(》(《一q)2)2>0;6/(x,=0=>^=^,z=1,2,n(1)f=lx=y^>d(x,y)=0(2)d(x,y)=d(y,兀),显然(3)由Minkowski不等式,(£仏+勺)手§£»+(£勺耳i=l/=1/=!令ai=&一久，S=a一A，则q+E=（&—%）+（%—&）=&一&即有：d(x,z)

5、z)所以是距离空间。再说明按照此距离d(・,・)定义的拓扑是连续的设耳=｛笄)｝，儿=｛們舛T2£｝,耳T"“｝，则有：d(暫+儿,x+y)Sd(£+儿，聲+y)+d(£+y,x+y)=d(y”,y)+d(£,x)T°从而：设£=｛針｝，%=｛£")｝丘，£TX=｛&｝,勺10=｛匕・｝，则有：m丄d(anxn,ax)

6、,...t?.qwK,定义：f=or=0(x+y)(f)=X(O+y⑴=(X)+(£bf)r=0/=0(a兀)(/)=ax(t)=a(工af)<=o显然按照上面的加法和数乘是线性空间。定义距离：d(x,y)=maxte[a9b]班0-曲)

7、容易验证满足距离定义的三个条件，下面不再证明。再说明按照此距离d(・,.)泄义的拓扑是连续的这一点也比较容易证明。3、考虑全体冇界数列空间X先定义线形运算：=｛§,$,・・・,乙,•••｝』=”7],〃2,…，77*・・・｝WwK,定义:X+y={§+77

8、,§2+“2，…，搅+%，…}ax={a^,a^2,...9a^n,..}显然按照上面

9、的加法和数乘是线性空间。定义距离：d(兀，刃=sup陆一引容易验证满足距离定义的三个条件，下血不再证明。再说明按照此距离d(・,.)定义的拓扑是连续的这一点也比较容易证明。第五题设X/X2是数域K上的赋范线性空间，定义X]XX2={(x"2)MwX“2wX2},而且

10、(x1,x2)

11、

12、=

13、

14、x1

15、

16、14-

17、

18、x2

19、

20、2*证明：

21、

22、・

23、

24、是乘积空间上的范数。证明：Vx=(x1,x2),>,=(>，iOS)e(1)

25、

26、(xPx2)

27、

28、=

29、

30、x1

31、

32、1+

33、

34、x2

35、

36、2>o；

37、

38、(x1,x2)

39、

40、=