泛函分析作业(二).doc

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1、泛函分析作业（二）BY0807112吴耀第一题试举出一个无穷维Hilbert空间，并指出它的一个正规正交基解答：考虑，定义内积：,,,,首先验证满足内积的四条假设.1),且;2)显然成立;3),;4)所以是按照如上内积定义的内积空间。下面说明该内积空间是完备的。由定义有：,可见由内积诱导的范数恰好是在以前定义的范数：，，以前已经证明这一个完备的赋范线性空间，所以，该内积空间是完备的。总之，是一个无穷维Hilbert空间。下面指出这个无穷维Hilbert空间的一个正规正交基。下证是的一个正规正交基。显然有：,使得,则有=0，。故是的一个正规正交基。第二题

2、X是内积空间，,则：.证明：首先根据定义，证明如下等式：则有：证毕。第三题举两个无穷维Banach空间上连续线性泛函的例子解答：举例一：考虑无穷维Banach空间C[0,1]上的点赋值泛函f.先说明其是线性泛函。所以是线性的。再说明其是连续泛函。是有界的，根据定理1，是连续的。举例二：考虑无穷维Banach空间L2[a,b]上的泛函f.先说明其是线性泛函。所以是线性的。再说明其是连续泛函。是有界的，根据定理1，是连续的。第四题举一个无穷维赋范线性空间上有界线性算子的例子。解答：考虑空间中定义线性算子T如下：,则T是有界的。所以故T是有界线性算子。事实上

3、，不妨设即第五题设H是具有的Hilbert空间，是双射，在H中定义，，证明：⑴是H上的内积⑵H按也是Hilbert空间⑶H按的内积范数与按内积范数等价证明：⑴只需证明满足内积定义的四条假设即可。，显然1)，因为是双射，故;2)得证3),4)证毕。⑵H按也是Hilbert空间。只需要证明H按照是完备的就可以了。设是H中按定义的Cauchy列，即有：即是双射，所以A是有界可逆的，有按定义也是Cauchy列，而H是具有的Hilbert空间，也就是完备的，所以，按收敛到，下面可以证明，按收敛到。只需证明可取那么只需取：故按收敛到⑶H按的内积范数与按内积范数等价

4、：即有：故H按的内积范数与按内积范数等价。