《泛函分析》作业答案汇总(修改)

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1、《泛函分析》作业1、对,令,,问,是度量空间吗?2、表可测集的平方可积函数,令,证明是度量空间。3、S表示所有数列组成的集,,,令,则S是度量空间。4、,,,证明是度量空间。5、度量空间的收敛点列是有界的。6、设是度量空间,,,,,,,,,,证明,。7、证明使。8、证明:用此结论证,。9、证明(1)任意闭集交是闭集。(2)有限个闭集的并是闭集。10、证明开球是开集,闭球是闭集。11、设是度量空间,,若在中稠密,在中稠密,,证明在中稠密。12、基本列中有子列收敛,则基本列一定收敛。13、度量空间中任何完

2、备子集是闭集。14、设,是度量空间,是到上的连续映射,,若在中稠密,证明在中稠密。15、设,,2问:(1)是否有界。(2)是否可分。(3)是否完备。(4)是否列紧。16、证明度量空间中的自列紧集的连续集是自列紧集。17、(1)若,则数列有界。(2)是的连续函数。(3)若且,则。(4)若且。18、T是到的算子,且及,,证明T是到的有界线性算子。19、设,是赋范线性空间,是的子集,T是到上的线性算子,若T在点连续,则T是到上的连续映射。20、设,是赋范线性空间,是的子集,T是到上的线性算子,证明若T是有界

3、,则T是连续的。21、设是赋范线性空间,,且,证明:,使得22、设是赋范线性空间,,证明:。23、设是空间,是赋范线性空间,,若对每个是中基本列,证明:数列是有界的。2

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