泛函分析作业

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1、泛函分析在地球物理勘探中的应用地球探测科学与技术学院相丽娜2015652005泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多•沃尔泰拉（VitoVolterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。一、泛函分析基本原理泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维

2、向量空间上的泛函，算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。其中线性泛函分析是发展较成熟的部分，主耍包插抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。1.1抽象空间理论抽象空问理论是对--般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。度量空间，在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质，即称为一个距离。定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间，泛函屮的收敛性与范数有关。进而，若赋范线性空间按范数所成

3、的度量空间是完备的，此即完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共辘空间，即巴拿赫空I'可上所有连续线性泛函所构成的空I'可。内积空间是定义了内积运算的线性空间。完备的赋范内积空间,称为希尔伯特（Hilbert）空间,Hilbert空间具有良好的性质。1.2线性算子理论最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空I'可所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。几个重要的线性算子：距离空间上的连续映射（算子），巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轨算子希尔们特空间上的线性泛函与自共轨算子。1.3线性

4、泛函分析的“四大定理”Hahn-Banach泛函延拓定理，该定理研究了如何讲一个算子保范数的从一个子空间延拓到整个空间；共鸣定理（一致有界定理），该定理描述一族有界算子的性质；逆算子定理描述的是两个Banach空间之间相互的算子都是线性有界的；闭图像定理是通过图像定义的闭算子和闭集，说明算子的有界性。1.4广义函数广义函数是某个指定空间上的线性连续泛函。古典函数在描述物理问题中（如在原点放置一个单位质量的质点，求证过数轴上的质量分布线密度）和偏微分方程的求解中存在局限性，因此产生了Dirac函数和偏微分方程的广义解，这都是广义函数的产物。广义函数是古典函数的推广，它的出现

5、从根本上改变了两数概念。如果定义在各点的函数只是一些物理量的近似描述，则广义函数就成为描述很多物理现象的更自然的工具，推动了科学研究的进展。二、泛函分析在地球物理勘探中的应用2.1基于工程地震模型的反演理论中的泛函分析在薄储集层地质条件下，由于地震频带宽度的限制,基于普通地震分辨率的直接反演方法，其精度和分辨率都不能满足油田开发的要求。基于模型地震反演技术以测井资料丰富的高频信息和完整的低频成分补充地震有限带宽的不足，可获得高分辨率的地层波阻抗资料，为薄层油（气）藏精细描述创造了有利条件。方法原理：基于模型地震反演方法思路如图1所示。图1基于模型反演思路这种方法从地质模型

6、出发,采用模型优选迭代挠动算法，通过不断修改更新模型,使模型正演合成地震资料与实际地震数据最佳吻合，最终的模型数据便是反演结果。基于模型地震反演(又称测井约束地震反演)实质上是地震-测井联合反演,其结果的低、高频信息来源于测井资料，构造特征及屮频段取决于地震数据。多解性是基于模型地震反演的固有特性，即地震有效频带以外的信息不会影响合成地震资料的最终结果,减小基于模型方法多解性问题的关键在于正确建立初始模型。基于模型反演结果的精度不仅依赖于研究目标的地质特征、钻井数量、井位分布以及地震资料的分辨率和信噪比，还収决于处理工作的精细程度,其主要技术环节有：(1)储集层地球物理特

7、征分析测井资料，尤其是声波和密度测井，是建立初始模型的基础资料和地质解释的基本依据。通常情况下，声波测井受到井孔环境(如井壁跨塌、泥浆浸泡等)的影响而产生误差，同一口井的不同层段，不同井的同一层段误差大小亦不相同。因此，用于制做初始波阻抗模型的测井资料必须经过坏境校正。(2)地震子波提取子波是基于模型反演屮的关键因素。子波与模型反射系数褶积产生合成地震数据，合成地震数据与实际地震资料的误差最小是终止迭代的约束条件。迭后地震子波提取常用两种方法,其一是根据已有测井资料与井旁地震记录，用最小平方法求解，是一种确定性的方法，理论上可