《泛函分析》作业答案汇总(修改).doc

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1、《泛函分析》作业1、对Vx,yw/?,令d{(x,y)=(x-y)2,d2(x,y)=^

2、x-y

3、,问d{(x,y),d2(x,y)是度量空间吗？2、L2(E)表可测集E的平方Lebesgue可积函数，wZ?(E)令丄〃(忑)')二仏卜⑴一曲)『‘证明&(£)，〃)是度量空间。3、S表示所有数列组成的集，Vx,ywS,兀={旺}』={)、}，令如沪雪占’则s是度量空间。SQC丄4、1~={xiI

4、Sd)是度量空间,x,ygR",兀=(兀]，…兀)，，=()[,…儿)，{F)u(/?〃,d)},(加=1,2,…)，x(w)=«；•••<),x<0>=(x；⑴,.…工("厂xe(/?",〃)，，证明Tx{m—>00)<=>Vz(l0,使sg,广)usO。,厂)。8>证明：xwAoV£〉0,s(x,£)c4HO,用此结论证,i4UB=4UB。9、证明(1)任意闭集交是闭集。(2)有限个闭集的并是闭集。10、证明开球是开集，闭球是闭集。11、设(X,〃)是度量空间，A,B,CgX,若3在A屮稠密，C在3屮稠密，,证明C在/

5、1屮稠密。12、基本列屮有子列收敛，则基本列一定收敛。13、度量空间屮任何完备子集是闭集。14、设(X,d),(X川)是度量空间,丁是X到X

6、上的连续映射，BqX,若B在X中稠密，证明T(B)在T(X)中稠密。15、设E=(0,1)u{2,3,••…,"}，Vx,yeE,d(x,y)=x-y,(2)(E,d)是否完备。(4)(E,d)是否列紧。16、证明度量空间屮的自列紧集的连续集是自列紧集。17、(1){xJcE^eE,若兀txStoo),则数列{\xn11}有界。(2)11x11是兀的连续函数。(3)若{xJoE,{yZJ}oE,x,yGE,且兀T兀,儿Ty(〃

7、Too),则心+儿TX+T00)o(3)若{dn}oK.deK.{xn}cE,xeE,且Q”—>6,xn-»x{n—>oo)。18、T是c[d,b]到c[“]的算子，且V«rwc[d,b]及Vre[a,&],17xI(z)=Jx(r)Jr,证明T是心，切到心,b]的有界线性算子。“19、设E,乙是赋范线性空间，D是E的子集，T是Q到呂上的线性算子，若3x0eD,T在天0点连续，则T是D到垃丄的连续映射。20、设E,Q是赋范线性空间，。是E的子集，T是D到纠上的线性算子，证明若T是有界，则T是连续的。21、设E是赋范线性空间，且xzy,证明：3/eE*,使得/(x)hf(y

8、)22、设E是赋范线性空间，x()wE,证明：卜。卜SUp

9、/g)

10、。*/e£kl->23、设E是Banach空间，耳是赋范线性空间，{门爲匸8(仗耳)，若对每个NeE,{Tnx}是耳屮基本列，证明：数列{IITII}：=1是有界的。