资源描述：
《第二章 赋范线性空间-黎永锦》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.(欧拉)(1707-1783,瑞士数学家)在1908年讨论由复数列组成的空间时引入记号来表示,后来就称为的范数.赋范空间的公理出现在在1918年关于上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在1920到1922年间由（1892—1945）、（1879—1934）、（1884—1943）和（1894—1964）给出的,其中以的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念线性空间是在1888年出版的书GeometricalCalculus中引进的.在1922
2、年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义2.1.1设是实数域或复数域,是数域上的线性空间,若是到的映射,且满足下列条件： (1)且当且仅当;(2),对任意和任意;70(1),对任意.则称为上的范数,而称为的范数,这时称为赋范线性空间.明显地,若为赋范线性空间,则对任意,定义时,为度量空间,但对一般的度量空间,当为线性空间时,若定义,则不一定就是上的范数.例2.1.1设数列全体,则明显地,为线性空间,对任意的,定义则但取,,则而因此所以,不是上的范数.问题2.1
3、.1对于线性空间上的度量,它满足什么条件时,才能成为范数？ 定理2.1.2设是线性空间,是上的度量,在上规定,则成为赋范线性空间的条件是：70(1),对任意；(2),对任意和任意. 下面举出赋范线性空间的一些例子. 例2.1.3对于,是的范数,即是赋范线性空间. 例2.1.4对于,在范数下是赋范线性空间.例2.1.5在范数下是赋范线性空间.例2.1.6在范数下是赋范线性空间.例2.1.7,在范数下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义2.1.2设是赋范空间,若依度量收敛于,
4、即,则称依范数收敛于,记为 在赋范线性空间中,仍然用记以为球心,为半径的开球,用记以为球心,为半径的闭球.为了方便,用记以0为球心,1为半径的闭单位球面.用记以0为球心,1为半径的闭单位球.用记以0为球心,1为半径的开单位球.70例2.1.8在空间中,对于可以定义几种不同的范数:则对,闭球在不同范数下的形状为：70思考题2.1.1设是赋范线性空间,问开球的闭包是否一定是闭?思考题2.1.2设是线性空间,问闭球内部是否一定是开球?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的. 定理2.1.8若是赋范空间,则.证明由可知定理成立. 定理2.1.9若是赋范空间,,则.证明由和,可知,因此.
5、 定义2.1.3设是赋范线性空间,若时,必有,使,则称为完备的赋范线性空间.根据M.的建议,完备的赋范线性空间称为空间.不难证明,都是空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义2.1.4设是赋范线性空间,若序列收敛于某个时,则称级数收敛,记为.定义2.1.5设是赋范线性空间,若数列收敛时,70则称级数绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理2.1.10设是赋范线性空间,则是空间的充要条件为的每一绝对收敛级数都收敛.证明设是空间,且绝对收敛,则由可知,对于,有,因此
6、是的列,由的完备性可知,存在使,即反之,设的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于的列,对,有,使得因而.由假设可知收敛于某个,即收敛,所以必收敛于,从而完备.事实上,在实数空间中,正是由于的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义2.1.6设是赋范线性空间,若是的线性子空间,则称为的子空间,若还是的闭集,则称为的闭子空间.70明显地,若是空间,为的闭子空间,则是空间,反之亦然.定理2.1.11设是空间,为的子空间,则是空间当且仅当是的闭集.证明设是空间,当,且时,则为的列,因而收敛于上的一点,故,即,所以是闭集.反之,设为列,则为的列,由于是空间,因此是收敛列,即存在使,又由于是的
7、闭子空间,因此,即在中收敛于,所以是空间.定义2.1.7设是线性空间,为上的一个实值函数,且满足：（1）；（2）,对任意；（3）,对任意,任意.则称为上的半范数.明显地,上的范数一定是半范数,但对上的半范数,由于时不一定有,因此半范数不一定是范数.例2.1.9在中,定义,易证是中的半范数,但对于,都有,因此不是的范数.有什么办法能使中的问题转化为赋范空间中来解决呢？ 定义2.1.8设是线性空间,是的线性子空间,若,则称与关于等价,记为易知,等价具有下面的三个性质（1
