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《第二章赋范线性空间-黎永锦.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途第2章赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密， 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形:一定的虚构假设 足以解释许多现象．（欧拉)（１707-１７８3,瑞士数学家） 在19０８年讨论由复数列组成的空间 时引入记号来表示,后来就称为的范数.赋范空间的公理出现在在191８年关于上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在1９20到１92２年间由 (１８9２—1945）、(１8７9—１９34)、(1884—1９43）和(1894—196４)给
2、出的，其中以的工作最具影响. ２.1赋范空间的基本概念线性空间是在1８８８年出版的书GｅomｅtｒicａlCalｃｕluｓ中引进的．在19２２年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为空间.他定义的空间满足三组公理，第一组公理定义了线性空间，第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义2.1.1设是实数域或复数域，是数域上的线性空间,若是到的映射，且满足下列条件: (1)且当且仅当;(2),对任意和任意；个人收集整理勿做商业用途(1)，对任意 .则称为上的范数,而称为的范数，这时称为赋范线性空间. 明显地,若为赋范线
3、性空间,则对任意,定义时,为度量空间,但对一般的度量空间,当为线性空间时，若定义,则不一定就是上的范数.例2．1．1 设数列全体，则明显地,为线性空间,对任意的, 定义则但取，,则而因此所以，不是上的范数.问题２.１.１对于线性空间上的度量，它满足什么条件时,才能成为范数？ 定理2.1.2 设是线性空间,是上的度量,在上规定,则成为赋范线性空间的条件是：个人收集整理勿做商业用途（1),对任意;(2),对任意和任意. 下面举出赋范线性空间的一些例子. 例2.１.3 对于,是的范数,即是赋范线性空间. 例2.1.４ 对于,在范数下是赋范
4、线性空间. 例2．１.５ 在范数下是赋范线性空间.例2.１.６ 在范数下是赋范线性空间.例2.1．７,在范数下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开（闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用．定义2.1．2设是赋范空间，若依度量收敛于，即,则称依范数收敛于,记为 在赋范线性空间中,仍然用记以为球心,为半径的开球，用记以为球心,为半径的闭球.为了方便,用记以０为球心,1为半径的闭单位球面. 用记以0为球心,１为半径的闭单位球.用记以0为球心,个人收集整理勿做商业用途1为半径的开单位球.
5、例2.１.8 在空间中,对于可以定义几种不同的范数:则对,闭球在不同范数下的形状为： 个人收集整理勿做商业用途思考题2.１.1设是赋范线性空间，问开球的闭包是否一定是闭?思考题２.１.2设是线性空间,问闭球内部是否一定是开球?在赋范线性空间中，加法与范数都是连续的. 定理2.１.8 若是赋范空间,则. 证明由可知定理成立． 定理 2.1.9若是赋范空间,,则. 证明由和,可知,因此． 定义2.1.3设是赋范线性空间,若时,必有,使,则称为完备的赋范线性空间. 根据M.的建议,完备的赋范线性空间称为空间. 不难证明，都是空间．在数学分析中
6、,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中，也可定义无穷级数.定义２．1.4设是赋范线性空间,若序列收敛于某个时,则称级数收敛,记为.定义２．1.5设是赋范线性空间,若数列个人收集整理勿做商业用途收敛时,则称级数绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理．定理２.1.1０设是赋范线性空间,则是空间的充要条件为的每一绝对收敛级数都收敛． 证明 设是空间,且绝对收敛,则由可知,对于,有,因此是的列，由的完备性可知,存在使,即 反之,设的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于的列,
7、对,有 , 使得因而. 由假设可知收敛于某个,即收敛，所以必收敛于,从而完备.事实上,在实数空间中,正是由于的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的．定义2.1.6设是赋范线性空间,若是的线性子空间，则称为的子空间,若还是的闭集,则称为的闭子空间.个人收集整理勿做商业用途明显地,若是空间,为的闭子空间,则是空间，反之亦然.定理２.1.11设是空间,为的子空间，则是空间当且仅当是的闭集.证明设是空间,当,且时,则为的列,因而收敛于上的一点,故,即,所以是闭集.反之，设为列,则为的列,由于是空间,因此是收敛列,即存在使，又由于是的闭子空间，因此
8、,即在中收敛于,所以是空间.定义２.1.７设是线性空间,为上的一个实值函数，且满足:（1）;(２)，对任意;(3) ,对任意,任意.则称为上的半范数. 明显地,上的范数一定是半
