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《第四章 共轭空间-黎永锦》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章共轭空间 纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律,这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙.A.Einstein(爱因斯坦)(1879-1955,美国物理学家)在1929年引进了空间的共轭空间这一概念,这个思想在1927年也引进过,但的工作更完全些,共轭空间就是已知赋范的空间上的全体线性连续泛函所组成的线性空间,它在范数下是空间.对于具体的赋范线性空间,弄清这些赋范空间上的线性连续泛函的一般形式是非常有用的.另外,赋范空间的性质与它的共轭空间的性质有着密切的联系,因此可以通过共轭空间的性质来研究赋范空
2、间的性质. 4.1共轭空间由定理可知,对赋范线性空间,若,则,另外,对于任意赋范空间,的共轭空间一定是完备的.定理4.1.1当且仅当有,使得,对任意成立.且此时有.证明若存在,使得 ,对任意成立.则是上的线性泛函,且106因此是上的线性连续泛函,即.反之,若为上的线性连续泛函,则对,有这里,.设,,对任意成立,由可知取,可知,且. 因此所以 由上面定理可以看出与是几乎一样,为了刻画这样的“一样”关系,下面引进保范同构的概念.定义4.1.1设和都是赋范空间,若是到的线性算子,是双射,并且对于任意,有,则称是到的
3、保范同构,亦称与是保范同构的.106明显地,若与是保范同构的,则和具有几乎一样的性质,因而可将与看成是一致的.由上面定理的证明可以看出,若定义到的线性算子为,则是到的保范同构,因此可以把上面定理写成的形式. 定理4.1.2当且仅当存在,使得对所有成立,且此时,有. 证明若,则对,有对任意成立. 令,则,对任意成立.由可知,对于有,且因此,,故,即. 反之,若存在,使得对任意成立,则是的线性泛函,且106因此,且,所以.由上面定理可知,类似地,不难证明下面定理成立.定理4.1.3. 定理4.1.4对于,有,这里
4、. 对于的共轭空间,同样可以考虑它的共轭空间,称为的二次共轭空间,记为,由上面讨论可知.对于,有. 赋范空间的性质与它的共轭空间的性质有着密切的联系,如若是严格凸的,则对于的任一子空间上线性连续泛函,它在上只有唯一的保范延拓.利用共轭空间的性质,还可以弄清原来的赋范线性空间的性质,如的可分性等.定理4.1.5设是赋范空间,若是可分的,则也是可分的.证明由于是可分的,因此存在,使得,令,则.由可知,对,存在,使得.令为生成的闭子空间,则是可分的,且一定有. 事实上,如果,则由定理可知存在,使得故但这与矛盾,从而,
5、所以是可分的.1064.2自反Banach空间对于赋范空间,可以讨论的共轭空间和二次共轭空间,如,等,当然还可以讨论三次共轭空间和四次共轭空间等,赋范空间的性质与它的二次共轭空间有着密切的联系. 对于任意,可以构造出的线性泛函如下：.则由可知为上的线性连续泛函,且.因而对于任意,,若定义,则为到的映射.映射称为到的自然嵌入,它有下面的性质. 定理4.2.1设是赋范空间,,则是到的保范线性算子,即 （1）；（2）.证明（1）对任意,有（2）对任意,由定理可知,存在,使得,故因此,由可知.记,则,且是到的保范同构,
6、因而可以把和看成一样的赋范空间,亦即不区分和,在这种意义下,可看成的子空间,即106.一般来说,与是不相等的,如果的话,赋范空间就具有很好的性质.1927年在研究赋范空间的线性方程时,认识到了这种空间的重要性,引入了自反这一概念.定义4.2.1设是赋范线性空间,若从的自然嵌入映射是满射,即,则称是自反的.和都不是自反的,但是自反的. 明显地,若是自反的,则与保范同构.问题4.2.1若是空间,与保范同构时,是否一定自反？在1951年已构造了一个非自反的空间,与保范同构,但不是自反的.(参见：R.C.James,An
7、on-reflexiveBanachspaceisometricwithitssecondconjugatespace.Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A.37,(1951),174-177.).由于自反时,有,因此一定是完备的赋范空间. 定理4.2.2若是自反的赋范空间,则X是空间.怎么才能知道一个赋范空间是自反的呢？花了二十年的时间研究这一问题,得到了一个很简明的判别法.(参见：R.C.James,Reflexivityandthesupremumoflinearfunctionals.Ann.o
8、fMath.(2)66(1957),159–169.)定理4.2.3空间是自反的当且仅当对任意,存在,使得.利用这一定理,容易证明任意有限维空间是自反的.定理4.2.4若空间是有限维的,则是自反的空间. 证明对于任意,由,可知存在,使得.由于是有限维的,因此闭单位球是紧的，故有收敛子列,从而106,满足,所以是自反的空间. 定理4.2.5若空间是自反的,
