导函数及其运用.doc

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1、导函数最近这段时间都在学导函数，我们新课今天也刚好结束。我请教了很多人学习导函数后的感受，大家感受不一，我自己也有很深的体会，总之就这些内容，我做个总结吧！上课时获得的知识：（虽然我没几集数学课是认真的）1.首先最直接的是这个函数引发的思考：大家都知道这个函数的导函数是是个二次函数，我想到了其对称问题。这里我就函数（如图）进行讨论该函数的导函数为（如图）该函数的对称轴为x=3/2，其意义在于导函数在距x=3/2两侧等距的导函数值相同，那么换句话说，原函数在x=3/2两侧等距的函数图像变化趋势相同，则我大胆猜想

2、三次函数是中心对称函数，且对称对称中心为（对于这个函数的对称中心就是点（3/2,f(3/2)）），之后我对其进行了严格的证明（简单说就是用的定义进行化简证明），得到了确切的结论，一般的关于点成中心对称，并且在证明过程中发现，凡是过该点的切线只有一条（证明略）。（2010福建文科22题）已知函数的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为.（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）设是上的增函数.（ⅰ）求实数m的最大值；（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等

3、？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.解：（一问略）。解得,（i）所以，则是上的增函数，在上恒成立，即在上恒成立。设。，即不等式在上恒成立当时，不等式在上恒成立。当时，设，因为，所以函数在上单调递增，因此。，即。(ii)因为m取最大值，所以m=3则这时候可以发现其图像关于点成中心对称。首先本来就关于横坐标等于1的点中心对称，然后根据结论一般的关于点成中心对称，可以发现也是关于横坐标为1的点中心对称，那么整个函数就关于横左边为1的点中心对称，这时候令x=1求解得出g(1)=1/3所以原函数关于中心对称。

4、那么只需过这个点作直线就OK咯。1.老师讲习题课时，我在练习册上偶然看到个结论：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，那么轴对称函数的导数是中心对称的,中心对称的导数是轴对称的,这个命题成立吗？我当时想到了这个命题。我又想到了二次函数和三次函数的关系，二次函数的确是轴对称函数，而三次函数也是中心对称函数，而且对称都与有关，那么我就大胆猜想它是正确的。其实这个命题是错误的。大家都知道三次函数是中心对称函数了吧，那么我用几何画板画出的四次函数应该就是中心对称。（这个函数是）那这个猜想究竟错在哪里？我个人认为

5、是出在中心对称上。这个问题我去问过老师，他没做出正面解答，所以以下问题存属猜想假设而已。就拿这个函数来说，他的对称中心左边函数值已经小于零了，因此，如果它是个导函数，那么原函数在对称中心左边的一部分在减，从而失去了数学对称美，因为导致4次函数完全不对称。因此我将猜想修正了下（有待证明，哪天我有空会证明的）一般的，如果一个函数的导函数是轴对称函数，那么原函数是中心对称函数；如果导函数是中心对称函数，且对称中心在x轴上，那么原函数是轴对称函数。（我暂时没有找到可以用到这个结论的例题，但是不代表高考不会涉及到）接下

6、来是练题时发现的一些规律：1.分类讨论思想与运用我觉得，考导函数很大程度上是考察分类讨论思想，目前我能想到的有这几种l最高次项系数的符号（大于零，等于零，小于零）l是否有根（即符号是否恒定）l根的大小关系（大于，小于，等于）l如果是对称函数，那么对称轴与区间的关系（左边，区间内，后边）l端点值，极值的大小关系（讨论最值）（09全国卷2文）设函数，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。解：（I）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由知，当时，，故在区

7、间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数。综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即解得1

8、单减都成立）在区间上的最小值小于零，最大值大于零，那么这个函数与x轴有且仅有一个焦点。推论：一般的如果函数，有任意的单调区间，且在该单调区间内的最大值大于零，最小值小于零，那么在该区间内必然函数与x轴有一个交点。当且仅当两个连续单调区间的最小值或最大值同时等于零时，该两个连续单调区间上与x轴仅有一个交点。（09陕西文20题）解：一问略。要使，需使方程有三个不相等的根，即有三个不相等的根。从而令与x有