导函数及其运用

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1、导函数最近这段时间都在学导函数，我们新课今天也刚好结束。我请教了很多人学习导函数后的感受，大家感受不一，我口己也有很深的体会，总Z就这些内容，我做个总结吧！上课吋获得的知识：（虽然我没几集数学课是认真的）1.首先最直接的是f（x）=ax3+bx2+cx+d这个函数引发的思考：人家都知道这个函数的导函数是广（x）=3o?+2bx+c是个二次函数，我想到了其对称问题。这里我就函该函数的导函数为Kx）"-八1,3.心）=—-X3-—X2+1粕32数该函数的对称轴为x=3/2,其意义在于导函数在距x=3/2两侧等距的导函数值相同，那么换句话说，原函数在x=3/2两侧等距的函数

2、图像变化趋势相同，则我人胆猜想三次函数是屮心对称函数，且对称对称屮心为（对于这个函数的对称屮心就是点（3/2,f（3/2）））（3d3。丿格的证明（简单说就是用q11=2/（-一）-/（-——兀）的定义进行化简证明），得到了确切的结论，一般的3d3a/（兀）=0?+加2+汝+d关于点f—成中心对称，并且在证明过程中发现，凡<3a3a）是过该点的切线只有一条（证明略）。(2010福建文科22题)己知函数/(x)=-x3-x2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3兀-2.(I)求实数a,b的值；(II)设g(x)=/(x)+—是［2,+8)上的增函数.

3、x-(i)求实数m的最大值；(ii)当m取最人值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的血积总相等？若存在，求出点Q的处标；若不存在，说明理由.解：(一问略)。解得/(兀)=丄疋一/+3x-2,/(x)=x2-2x+3(i)所以g(兀)=丄兀彳一兀2+3兀一2+——,贝ijg*(x)=x2-2x+33x-1(兀_1)_•・•g(兀)是［2,+oo)上的增函数,g'(x)在［2,+oo).上恒成立,即x2-2x+3——J在［2,+00)上恒成立。(兀-1)「设(x-l)2=/oTX丘2+00)，.・./€［1,+0

4、0),即不等式/+2—巴no在［1,+oo)上恒成立t当m<0时，不等式f+2-巴■'0在［1,+oo)上恒成立。tm当加〉0时，设y=t+2,tw［l,+oo)t因为才=1+马>0,所以函数y=/+2-—在［1,+O0)上单调递增，tt因此儿in=3-加。•/y^n>0,3-7?7>0,即m<3。(ii)因为m取最大值，所以m=317。3则g(兀)=—兀—兀+3兀一23x-1这时候可以发现其图像关于点2(1,-)成中心对称。3首先兀一1木来就关于横坐标等于1的点中心对称，然后根据结论一般的f(x)=ax3+bx2+cx+d关于点I—,/(—)

5、成中心对称，可以发现I

6、3a3d)/(x)=lx3-x2+3X-2也是关于横坐标为1的点中心对称，那么整个函数就关于横左边为1的点屮心对称，这时候令x=l求解得出g(l)=l/3所以原函数关于2(1,-)屮心对称。那么只需过这个点作直线就0K咯。1.老师讲习题课时，我在练习册上偶然看到个结论：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，那么轴对称函数的导数是中心对称的,中心对称的导数是轴对称的，这个命题成立吗？我当吋想到了这个命题。我乂想到了二次函数和三次函数的关系，二次函数的确是轴对称函数，而三次函数也是中心对称函数，而且对称都为——有关，那么我就大胆猜想它是止确的。3。其实这个命题是错误

7、的。那这个猜想究竞错在哪甲•?人家都知道三次函数是中心对称函数了吧，那么我川儿何画板画出的四次函数应该就是中心g(x)=x4-3-x3+x2-x+3我个人认为是出在中心对称上。这个问题我去问过老师，他没做出止血解答，所以以下问题存属猜想假设而已。他的対称中心左边函数值已经小于零了,因此,如果它是个导函数，那么原函数在对称中心左边的一部分在减，从而失去了数学对称美，因为导致4次函数完全不对称。因此我将猜想修正了下（有待证明，哪天我有空会证明的）一般的，如果一个函数的导函数是轴对称函数，那么原函数是中心对称函数；如果导函数是中心对称函数，且对称中心在x轴上，那么原函数是轴

8、对称函数。（我暂时没有找到可以用到这个结论的例题，但是不代表高考不会涉及到）接下来是练题吋发现的一些规律：1.分类讨论思想与运用我觉得，考导断数很大程度上是考察分类讨论思想，目前我能想到的有这几种•最高次项系数的符号（大于零，等于零，小于零）•是否有根（即符号是否恒定）•根的大小关系（大于，小于，等于）•如果是对称函数，那么对称轴与区间的关系（左边，区间内，后边）•端点值，极值的大小关系（讨论最值）（09全国卷2文）/（x）=lx5-（l+a）x2+4公+24a设函数3•，其屮常数a>l（I）讨论f（x）的单调性；（II）若当x>0时,f（x）>0恒