导函数性质及其应用

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1、万方数据2009年8月第25卷第8期武警学院学报JOURNALOFCHINESEPEOPLE’SARMEDPOLICEFORCEACADEMYAug．2009V01．25No．8导函数性质及其应用●海红(武警学院基础部，河北廊坊065000)摘要：处处有导数的函数(导函数)有两个很好的性质：(1)在一点处有极限，则该点必连续，若无极限则该点两侧或单侧越振荡；(2)可能有不连续点的导函数介值定理仍成立。如果函数某点的领域内处处可导，我们可得到如下三个推论：(1)当／(X0+0)=／(‰一0)时，则存在且连续。(2)当／(X0+0

2、)≠／(茗。一0)，或至少有一个单侧极限为无穷时，函数在该点不可导，(3)"-3／(并。+0)和／(粕一0)中一个或同时振荡时，函数在该点可能可导。关键词：导函数；可导；连续；介值定理中图分类号：0172．1文献标识码：A文章编号：1008—2077(2009)08—0094—03l定理与推论1．1定理与证明定理1：设函数F(戈)在区间上，上可导，且导函数为以并)，若八菇)在Vx。∈1，的极限存在，则八z)在菇。点连续．雕llimf(x)=八‰)。由微分中值定理，容易证明该结论成立，简单地说，对于F1(戈)=以菇)(以戈)在，

3、上有定义)来说，有极限必连续，这是一般函数不具备的一个性质。定理2：若F(x)在[a，b]上处处可导，且F’(石)=以茗)，则在Yx。∈，处以搿)在点‰不连续必第二类(振荡)间断。证明(反证法)假设：(1)(由定理1知)该点处不可能为可去间断点，点‰为厂(省)的第一类(跳跃)间断点；(2)若点菇。为以戈)的在第二类(无穷)间断点。(1)设以石；)=A。以xo)=A2，且A。≠A：，则f(xo)叫=州lim掣=fI叫limdf(‘"1)-八‰)，同理有八菇i)=A：=以‰)，与已知矛盾。(2)若八算)在戈。点为第二类(无穷)间断

4、点，则八戈j)，牧稿日期：2009—04—13作者简介：海红(19“一)，女(蒙古族)，内蒙古通辽人，副教授。·94·八菇i)中至少有一个为∞，但是由(1)的证明，这与八茗。)存在矛盾。综上，证毕。注：反之，若如果函数在某点的邻域内处处可导，则导函数在该点的左右极限存在且相等时，函数该点必可导且导函数在该点连续(定理1)，而／(髫)该点的一侧或两侧同时振荡以髫)在该点可能可导。．1例如，F(菇)：J戈2sin寺，髫≠o，设F’(菇)：【0．茗：0以石)，容易验证F’(0)=以0)=0，但是／(0+)与．．1／(o一)均振荡，但

5、是八戈)：{石2sin寺，石>o中，【戈．名≤o／(o)不存在．定理3：导数的介值定理(达布)：设八菇)在[一a，a]上处处可导(端点处单侧导数)，如果／(a)≠／(b)对于任意∥(a)y(b)间的任意实数c，至少存在一点f∈[口，b]使得成立／(f)=c。证明：作辅助函数g(髫)=八菇)一“，显然g(x)在[一a，a]上处处可导，且g’(a)=／(a)一c<0，g。(b)=／(b)一c>0，因为g’(o)=／(口)一c=1im万方数据《武警学院学报)2009年第8期(总第159期)·基础研究·丛型二世<0，所以由保号性知在口

6、的附近有石一CI,g(茗)

7、点可导且／(石)在该点连续；(2)／(,17)在该点的左右极限存在不相等或者至少一个单侧极限为无穷大时以茄)在该点不可导；(3)／(菇)在该点的一侧或两侧同时振荡以石)在该点可能可导。2应用举例2．1足理1、足理2的应用例1．设州={嚣’薯戈“／(0)存在吗?解：用导数的定义分别求出^’(0)和厂’(0)来判断是一种通用普适的方法，但通常不够简单．利用定理1、定理2的结论得，因为八石)在菇=0点连续，rcosz．菇<0---7且／。卜i南p。’显然有∥∞卜∥∞卜即／(0)=1。例2．设八菇)={芰二：墨茎：<1／c·)存在吗?

8、解：以并)在菇=1点连续／(石)=霞譬从1，显然“(1)=3≠∥(o)-2’即／(1)不存在。例3．设八龙)：J．口si似+6c。昭+3,x