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时间:2021-01-31
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1、初二数学同步辅导教材(第39讲)【几何进度】几何第二册第五章小结与复习(P251~259)【教学内容】相似形小结与复习【重点难点剖析】一.本章知识系统比例性质比例的基本性质如果,那么ad=bc,反之,也成立。合比性质见课本P2041.比例线段等比性质见课本P205比例线段——黄金分割见课本P208平行线分线段成比例定理见课本P212三角形一边平行线的性质定平行线分线段成比例定理的推论(见课本P214)和P218例6三角形一边的平行线的判定定理见课本P216定义见课本P225判定(1)定义法相似三角形(2)平行法即课本P227定理(3)判定定理即课本P228、P230
2、的三个判定定理(4)直角三角形的相似判定,见课本P233定理性质见课本P241、P242定理二.重点剖析1.寻找相似三角形的方法一般是“找”或“构”,“找”时一般要利用特征图形(如有公共角的两个三角形),“构”时,一般要通过作平行线等辅助线来建构,另外还可通过“过渡比”来实现两个比相等。2.特别提醒的是:“没有两边对应成比例,且一边的对角对应相等的两个三角形相似”的判定方法。【典型例题】例1已知求的值分析将已知条件转化为a=5b,c=5d,e=5f代入分子,即可求出值解:∵∴a=5b,c=5d,e=5f,代入得点评本题也可用等比性质,由已知可得即得例1解方程分析应用
3、比例性质,化简,再解解应用合比性质原方程化为即解得x1=0经检验都是原方程的根。例2如图1;AE=AF求证分析题中没有“平行线”,我们通过添加平行线,图1以便应用平行线截线段成比例的定理,来证证作CM//AB交DF于M则CD:DB=CM:BF,∠AFD=∠FMC由于AF=AE∴∠AFE=∠AEF又∠AEF=∠CED∴∠DEC=∠CME故EC=EM∴CD:DB=CE:BF点评本题添加平行线的方法,还可以有以下几种,如作CN//DF交AB于N或作BQ//AC交DF延长线于Q或作BH//FD交AC延长线等于H等,同学们可以作为练习自己来完成,以总结这类问题添加辅助助平行线
4、的规律。例2如图2已知:AB=AC,延长AB到E,使BE=AB,D为AB中点,求证CE=2CD分析本题证法很多,可用三角形中位线图2或全等三角形,或平行四边形来证,但如果用相似三角形的判定定理就能直接证得;在△ADC和△ACE中,,∠A=∠A,即得△ADC∽△ACE,则即CE=2DC证:略例4如图3已知:AD是Rt△ABC斜边BC上的高,A∠ABD平分线交AD于M,AC于P,P∠DAC平分线交CD于NM求证MN//AC分析欲证MN//AC,ND图3只要证DM:MA=DN:NCBC和,可得AM:MD=AB:BD,NC:ND=AC:AD又Rt△ADB∽Rt△CDA,可得
5、DB:AB=AD;AC,从而可推出结论。证∵∵AD⊥BC,BM为∠ABD的平分线,∴△ABM中AB上的高与MD相等∴∴AM:MD=AB:BD由AD⊥BCAN为∠DAC的平分线,同理可得NC:ND=AC:AD又AD⊥BCAB⊥AC∴∠ABD=∠DAC∴△ADB∽△CDA于是BD:AB=AD:AC∴DM:MA=DN:NC故MN//AC点评:本题还可以证得∠MNA=∠NAM,推出MN//AC(提示:由已知先证AM=AP,从而推出AN⊥BP,进而可推得AB=BN,△ABM≌△BNM,从而得AM=MN,即∠ANM=∠MAN,∴∠PAN=∠ANM)读者可作为练习试一试。例4如图
6、4已知梯形ABCD,AD//BC,对角线AC、BD交于E,,求S梯形ABCD分析S梯形ABCD=S△AED+S△BEC+S△AEB+S△DEC故只要求S△AEB和S△DEC即可解∵AD∥BC∴△AED∽△CEB∴又△AEB和△BEC的底边AE和EC上的高相同那么同理可得S梯形ABCD=S△AED+S△BEC+S△ABE+S△DEC=p2+q2+pq+pq=(p+q)2例5已知如图5在△ABC中,∠BAC=900AD⊥BC于D,P为AD中点,BP延长线交AC于E,EF⊥BC于F,求证EF2=AE·EC分析要证EF2=AE·EC,可证它们所确定的三角形相似,EF、CE确
7、定Rt△CEF而EF、AE图5没有确定哪个直角三角形,为此可构造一个包含EF、AE(或和它们相等的线段)且能与Rt△CEF相似的直角三角形,由P为AD中点,AD∥EF,可延长FE、BA交于点N,有EF=EN,且△AEN∽△FEC证明延长FE交BA的延长线于N∵AD⊥BCEF⊥BC∴AD∥EF∠EFC=900∴又∵AP=PD∴NE=EF∴∠EFC=∠NAE=900∠AEN=∠FEC∴△ANC∽△FCE∴又∵EF=NE∴EF2=【练习与测试】1.若线段,则a、b、c的第四比例项x=线段bc和9a的比例中项y=2.在直角三角形ABC中,斜边AB上的高为CD,AB=12
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