初二数学同步辅导教材(第8讲)

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1、初二数学同步辅导教材（第8讲）【教学进度】§3.7§3.8【教学内容】1．三角形全等的判定（三）2．直角三角形全等的判定【重点、难点剖析】一、三角形全等的判定（三）1．边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。2．三角形全等的判定方法有：定义、边角边公理、角边角公理、角角边推论、边边边公理，但要注意不能用边边角或角角角判定三角形全等。3．灵活应用各公理及推论证三角形全等。①如果有两条边对应相等，还应寻找它们的夹角或者第三边对应相等。②如果有一个角和一条边对应相等，还应寻找一个角或者相等的另一边。③如果有两个角对应相等，还应寻找一条边对应相等。二、直角三角

2、形全等的判定1．斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2．直角三角是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质。对于直角三角形来说“斜边、直角边”公理，就是由直角三角形的特殊性决定的，这个公理为直角三角形所独有，对于一般三角形是不能成立的，直角三角形作为三角形，一般三角形全等的判定方法对其仍适用，故判定直角三角形全等的方法有：定义、SAS、ASA、AAS、SSS及HL。例1．已知：如图1，FD=EB，AB=CD，AD=BC，求证：∠E=∠F分析：要证∠E=∠F，需证ΔAED≌ΔCFB，由于AD=BC，AE=CF，还缺∠A=∠

3、C条件，因此还要证∠A和∠C所在的两个三角形全等，即ΔABD≌ΔCDB，故需连结BD，添置辅助线。证明：连结BD在ΔABD和ΔCDB中，∴ΔABD≌ΔCDB（SSS）∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）∵AB=CB，BE=DF（已知）∴AE=CF在ΔAED和ΔCFB中∴ΔAED≌ΔCFB（SAS）∴∠E=∠F（全等三角形的对应角相等）例2．如图2所示，在ΔABC和Δ中，AB=，AC=，M是BC中点，是中点，AM=，求证：ΔABC≌Δ证明：延长AM至D，使MD=AM；连结BD，延长到，使=，连结在ΔAMC和ΔDMB中，∴ΔAMC≌ΔDMB（SAS）∴AC

4、=BD（全等三角形对应边相等）5同理可证∴BD=∵AM=MD（画图）（画图）AM=（已知）∴AD=2AM=2=（等式性质）在ΔABD和Δ中，∴ΔABD≌Δ（SSS）∴∠BAD=∠（全等三角形对应角相等）同理可证：∠CAD=∠∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠+∠=∠在ΔABC和Δ中，∴ΔABC≌Δ（SAS）点评：在证三角形全等问题时，当有三角形一边的中线的情况下，常常延长中线成二倍关系，也常利用中线证明三角形全等。例3．如图3，AD是ΔABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：（1）AD是∠BAC的平分线（2）AB=AC分析：要证

5、∠1=∠2，需证∠1，∠2所在的两个三角形全等，即证RtΔDAE≌RtΔDAF,由于AD是公共边，若证出DE=DF，就可用HL证全等，ED和DF分别在RtΔBED和RtΔCFD中，所以只需证出RtΔBED≌RtΔCFD即可。证明:(1)∵AD是ΔABC的中线（已知）D∴BD=CD在RtΔEBD和RtΔFCD中∴RtΔEBD≌RtΔFCD(HL)∴DE=DF(全等三角形的对应边相等)在RtΔAED和RtΔAFD中，∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL)∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)即AD是∠BAC的平分线（2）RtΔAED≌RtΔAFD(已证)∴AE

6、=AF（全等三角形的对应边相等）又∵BE=CF（已知）∴AB=AC例4．如图4所示，已知：ΔABC中，∠BAC=900，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E求证：BD=DE+CE分析：欲证BD=DE+CE，只需证BD=AE，AD=CE，由此只需证RtΔABD与RtΔACE5全等，由已知AB=AC，只需证∠ABD=∠CAE，由∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=900，易知∠ABD=∠CAE证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（已知）∴∠ADB=∠AEC=900（垂直定义）∵∠BAC=900、∠ADB

7、=900（已知）∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD∴∠ABD=∠CAE（等角的余角相等）在ΔABD和ΔCAE中，∴ΔABD≌ΔCAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE（全等三角形对应边相等）∵AE=AD+DE∴BD=CE+DE点评：在证明直角三角形全等时，并不一定总是用“HL”公理。适合证明三角形全等的方法，如SAS、ASA、AAS、SSS等同样适用于直角三角形。【巩固练习】一、选择题1．下列命题中，错误的命题是（）（A）两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。（B）两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等。（C）两边和第三边上的中线对

8、应相等两个三角形全等。（D）两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等。2．