初二数学同步辅导教材(第1讲).doc

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1、初二数学同步辅导教材(第1讲)【教学进度】代数第二册§8.1§8.2【主要内容】1.因式分解2.提公因式法3.运用公式——平方式差公式分解因式【重点、难点剖析】一.因式分解1.定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。2.对因式分解应在以下几方面加深理解(1)多项式的因式分解是对多项式而言,把一个单项式写成几个单项式的积的形式,不属于因式分解。如:-6a3b3=(2a2b).(-3ab2)这个变形就不属于因式分解。(2)将一个多项式局部化成积的形式,亦不属

2、于因式分解。如:ma-mb+c=m(a-b)+c这个变形不属于因式分解。(3)整式乘法和多项式的因式分解是互逆的两个变形,其关系如下:反过来单项式×单项式整式乘法—单项式×多项式多项式×多项式多项式的因式分解(4)因式分解是代数中的一种重要恒等变形,乘法公式在因式分解中有着重要的作用。如:分解因式(1)9a2-4b2,(2)16x2-8xy+y2解:(1)9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)(2)16x2-8xy+y2=(4x-y)2这里都是利用乘法公式对多项式进行恒等变形,达到因式分解的目的。二

3、.提公因式法1.公因式:若多项式中各项都含一个公共的因式,则该因式叫做这个多项多的公因式。如何找一个多项式的公因式,方法是:一看系数、二看字母。公因式的系数应取各项系数的最大公约数,字母取相同字母,并且是相同字母的最低次幂。如:多项式9x3y-12x2y2+18x2y3z各项系数的最大公约数是3,各项都会有相同的字母x,y,x的指数最低是2,y的指数最低是1,因此,公因式为3x2y。2.提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号前,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公

4、因式法。提公因式法分解因式的一般步骤是:(1)找出各项的公因式。(2)写出公因式与另一个多项式的积(这里的另一个多项式是原多项式除以公因式所得的商式)。其中步骤(1)是提公因式法的关键。3.几点提醒(1)当一个多项式提出公因式以后,括号里再也不能提出式子出来了。(2)提公因式以后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。如:分解因式4a3-6a2b+2a提公因式2a后,剩下的另一个因式应是2a2-3ab+1。(3)如果多项多的第一项系数是负数时,例如:-12x2y-16xy2,先要提出“-”5号,使括号

5、内的第一项的系数是正数,然后再对括号内的多项式进行提公因式:-12x2y-16xy2=-(12x2y+16xy2)=-4xy(3x+4y)(4)如果多项式的某一项恰巧就是公因式,那么提出公因式后,要在该项的位置上添“1”。(5)如果多项式中项的系数含有分数,那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数。三.运用公式法——平方差公式1.把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的分法叫做运用公式法。2.运用平方差公式分解因式时,通常先把它们转化为两个单项式的平方差的形式,进而与公式a

6、2-b2=(a+b)(a-b)对照,分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,最终写出分解结果,如:分解因式-16+64a2,原式=64a2-16=(8a)2-42=(8a+4)(8a-4)=16(2a+1)(2a-1)3.当分解后的多项式中各项系数有公约数时,仍必必须提出,如2中所举例题。例1.下列各式由左边到右边的变形哪些是因式分解,哪些不是?(1)x2++x=x2(1+)(2)a2-17=(a+4)(a-4)+1(3)(a+b)(a-b)=a2-b2(4)x2y+xy2=xy(x+y)=x

7、2y+xy2(5)–9+x2=(3+x)(x-3)解:(1)(2)(3)(4)都不是因式分解;(5)是因式分解点评:因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式;(1)题虽然也是积的形式,但1+不是整式;(2)题的结果是(a+4)(a-4)+1的和的形式,而不是积的形式;(3)题是整式的乘法,与因式分解运算刚好相反;(4)题分解到半路又做乘法运算回去了;(5)题则以定义去衡量,完全符合。例2.把因式分解解:原式=点评:如果多项式中的系数含有分数,那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数,如果

8、多项式的首项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的首项系数是正数,同时括号内的其他各项都要变号。例3.把一列各式分解因式(1)a(a-b)2+(b-a)3(2)(b+c)x+(c+a)x+(a+b)x解:(1)原式=a(a-b)2+(b-a)3=(a-b)2[a-(a-b)]=(a-b)2(a-a+b)=b(a-b)2(2)原式=x(b+c+c+a+a+b)=x(2a+2b+2c)=2x(a+b+c)点评:(1)题首先把

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