高二数学同步辅导教材(第1讲).doc

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1、高二数学同步辅导教材（第1讲）一、本讲进度6.1不等式的性质二、本讲主要内容不等式的性质三、学习指导1．研究现实世界中的量之间的关系，主要有相等和不相等两种关系，相等是局部的，相对的，不等是普遍的，绝对的。因此，在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上，有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说，不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系，如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见，不等式在中学数学的重要地位，是进一步学习数学的基础知识。依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类，如按照不等式对其字母成立范围，分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不

2、等式；按照含示知数项的特点，分为超越不等式、代数不等式，代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式，有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。对于条件不等式，主要研究不等式成立的条件，就是所谓“解不等式”，对于绝对值不等式，主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立，就是所谓的“证明不等式”，这两个内容是本章的重点，在后面会专门研究它们。不管是证明不等式还是解不等式，都要有一些工具，这个主要工具是不等式的性质，因此，掌握好不等式的性质是学好本章的关键。2．不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质，还有一些推论：（1）一个公理：aba-b0这个公理给出了

3、实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系，是两个实数大小比较的依据。根据这个公理，得到比较两个数（或式）大小的一种重要方法——比较法。（2）三个基本性质：①a>bbb，b>ca>c③a>ba+c>b+c在传递性中，称a>b，b>ca>c，从左向右是缩小；称aba+c>b+c，推论：a>b，c>da+c>b+d；a>b，cb-d②a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0acbd特例：

4、a>b>0an>bnn∈N，n>1（ii）特例：a>b，ab>0③a>b>0n>1，n∈N运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系，根据逆运算的性质，减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。对于乘方性质，可推广为：a>b>0，n为正有理数，则an>bn。对于倒数性质，可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数y=在（-∞，0），（0，+∞）上的音调性理解。3．掌握不等式的性质，主要注意不等式成立的前提条件（如R或R+）。不等号方向是否改变及不等号方向之间的关系、条件与结论是“”还是“”。不等式性质的表达形式是以单个字母a、b等出现的，实际上a、b既可以是

5、数，也可以是式，应学会用整体思想解题。4．若不等式中不等号是非严格不等号“≥”“≤”，则应注意等号成立的条件是否满足。在运用运算性质求量的取值范围时，若每一个不等式中都含有变量，则应减少运用运算性质的次数，否则最后结果可能不准确。可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。四、典型例题分析【例1】若a>b>0，cb>0进行相加。∵c-d>0∴a-c>b-d>0（同向相加）∴(a-c)

6、2>(b-d)2（乘方性质）∴（倒数性质）∵e<0∴【例2】已知α，β∈，求α+β，α-β，的取值范围。解题思路分析：α+β的范围用不等式同向相加的性质，利用转化思想，α-β的范围也用不等式同向相加的性质，利用“正数同向相乘”的运算性质。∵，∴∵∴∴，∵∴∴【例3】设f(x)=ax2+bx（a≠0），若1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(2)取值范围。解题思路分析：因f(-1)，f(1)的范围已知，故考虑用f(-1)、f(1)表示f(2)。具体途径如下：途径一：因f(-1)、f(1)、f(2)都与a、b有关，参数a、b作为中间变量，起桥梁和过渡作用。先用f(1)

7、、f(-1)表示a、b，再将a、b表达式代入f(2)即可。由得∴f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1)∵6≤3f(1)≤12，1≤f(-1)≤2∴7≤f(2)≤14途径二：因f(-1)=a-b、f(1)=a+b、f(2)=4a+2b、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于a、b的一次表达式，故一定可以用f(-1)、f(1)的线性组合表示f(2)。在这个理论指导下，用待定系数法求解。设f(2)=αf(1)+βf(-1)，α、β∈R∴4a+2b=(α+β)a+(α-β)b由恒等式的知识：∴∴f(2)=3f(1)+f(-1)与途径一的结论