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时间:2020-02-28
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1、高二数学同步辅导教材(第1讲)一、本讲进度6.1不等式的性质二、本讲主要内容不等式的性质三、学习指导1.研究现实世界中的量之间的关系,主要有相等和不相等两种关系,相等是局部的,相对的,不等是普遍的,绝对的。因此,在初中及高一已接触到的不等式概念的基础上,有必要对这一部分知识进行归纳、小结、完善。就数学领域来说,不等式与方程、函数、三角等有着密切的联系,如讨论方程解的情况、研究函数的单调性、值域等性质。由此可见,不等式在中学数学的重要地位,是进一步学习数学的基础知识。依照不同的分类标准可对不等式作不同的分类,如按照不等式对其字母成立范围,分为绝对不等式、条件不等式、矛盾不
2、等式;按照含示知数项的特点,分为超越不等式、代数不等式,代数不等式又可分为无理不等式、有理不等式,有理不等式又可分为整式不等式、分式不等式等等。对于条件不等式,主要研究不等式成立的条件,就是所谓“解不等式”,对于绝对值不等式,主要证明不等式对于式子字母的一切允许值一定成立,就是所谓的“证明不等式”,这两个内容是本章的重点,在后面会专门研究它们。不管是证明不等式还是解不等式,都要有一些工具,这个主要工具是不等式的性质,因此,掌握好不等式的性质是学好本章的关键。2.不等式的性质包含一个公理、三个基本性质及三个运算性质,还有一些推论:(1)一个公理:aba-b0这个公理给出了
3、实数的大小次序与实数的运算之间的对应关系,是两个实数大小比较的依据。根据这个公理,得到比较两个数(或式)大小的一种重要方法——比较法。(2)三个基本性质:①a>bbb,b>ca>c③a>ba+c>b+c在传递性中,称a>b,b>ca>c,从左向右是缩小;称aba+c>b+c,推论:a>b,c>da+c>b+d;a>b,cb-d②a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0acbd特例:
4、a>b>0an>bnn∈N,n>1(ii)特例:a>b,ab>0③a>b>0n>1,n∈N运算性质主要反映两个以上不等式之间的加、减、乘、除的关系,根据逆运算的性质,减、除可分别化归为加、乘。注重转化思想。对于乘方性质,可推广为:a>b>0,n为正有理数,则an>bn。对于倒数性质,可归纳为“同号倒数反向”。可结合反比例函数y=在(-∞,0),(0,+∞)上的音调性理解。3.掌握不等式的性质,主要注意不等式成立的前提条件(如R或R+)。不等号方向是否改变及不等号方向之间的关系、条件与结论是“”还是“”。不等式性质的表达形式是以单个字母a、b等出现的,实际上a、b既可以是
5、数,也可以是式,应学会用整体思想解题。4.若不等式中不等号是非严格不等号“≥”“≤”,则应注意等号成立的条件是否满足。在运用运算性质求量的取值范围时,若每一个不等式中都含有变量,则应减少运用运算性质的次数,否则最后结果可能不准确。可用列表类比的办法比较等式与不等式的性质。四、典型例题分析【例1】若a>b>0,cb>0进行相加。∵c-d>0∴a-c>b-d>0(同向相加)∴(a-c)
6、2>(b-d)2(乘方性质)∴(倒数性质)∵e<0∴【例2】已知α,β∈,求α+β,α-β,的取值范围。解题思路分析:α+β的范围用不等式同向相加的性质,利用转化思想,α-β的范围也用不等式同向相加的性质,利用“正数同向相乘”的运算性质。∵,∴∵∴∴,∵∴∴【例3】设f(x)=ax2+bx(a≠0),若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(2)取值范围。解题思路分析:因f(-1),f(1)的范围已知,故考虑用f(-1)、f(1)表示f(2)。具体途径如下:途径一:因f(-1)、f(1)、f(2)都与a、b有关,参数a、b作为中间变量,起桥梁和过渡作用。先用f(1)
7、、f(-1)表示a、b,再将a、b表达式代入f(2)即可。由得∴f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1)∵6≤3f(1)≤12,1≤f(-1)≤2∴7≤f(2)≤14途径二:因f(-1)=a-b、f(1)=a+b、f(2)=4a+2b、f(-1)、f(1)、f(2)都是关于a、b的一次表达式,故一定可以用f(-1)、f(1)的线性组合表示f(2)。在这个理论指导下,用待定系数法求解。设f(2)=αf(1)+βf(-1),α、β∈R∴4a+2b=(α+β)a+(α-β)b由恒等式的知识:∴∴f(2)=3f(1)+f(-1)与途径一的结论
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