高二数学同步辅导教材(第7讲).doc

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1、高二数学同步辅导教材（第7讲）一、本讲进度7.2直线的方程课本第38页至第44页二、本讲主要内容直线普通方程的五种形式三、学习指导1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底又由点斜式确定。同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项：（1）在选用点斜式y-y0=k(x-x0)（将k作为待定参数）时，应讨论直线斜率k不存在的情形，此时直线方程为

2、x=x0。斜截式y=kx+b作为点斜式的特例，也有类似问题。点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。（2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上任取一点P(x，y)（异于P1、P2点），由P1、P2、P三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到：…………①或借助于斜率概念，有（或等），则：

3、…………②方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x1(x=x2)及直线y=y1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能通过两点式的分式形式表示出来。若将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x1)(y1-y2)=(y-y1)(x1-x2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不为零，直线方程形式为x+y=a（a≠0）；若截距为零，则直线方程形式为y=k

4、x（k≠0），此时直线必过原点。（3）直线方程一般式Ax+By+c=0（A2+B2≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为Ax+By+C=0”简说成“直线Ax+By+C=0”。应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解方程确定有关参数。3、在求直线方程过程中，重视分析图形的

5、平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。四、典型例题例1、等腰△ABC的顶点A（-1，2），AC边所在直线斜率为，点B坐标为（-3，2），求AC、BC及∠A平分线所在直线方程。解题思路分析：首先正确画出示意图，可以发现点C有两种可能，应分情况求解。AC边所在直线方程：y-2=(x+1)，即x-y+2+=0。当点C为点C1时∵AB∥x轴∴∠BAC2=，∠BAC1=又

6、AB

7、=

8、AC1

9、∴∠ABC1=∠AC1B=∴直线BC方程：y-2=(x+3)即x-3y+6+3=0∵∠A平分线

10、与线段AB夹角为∴∠A平分线与x轴正方向形成的角为∴∠A平分线方程：y-2=-(x+1)即x+y-2+=0当点C为点C2时，△ABC2为正三角形，BC2倾斜角为，∠A平分线倾斜角为，可求得BC边所在直线方程为x+y-2+3=0，∠A平分线方程为x-3y+6+=0。注：若进一步分析图形的平几性质，因

11、BA

12、=

13、C1C2

14、，故△C1BC2是以B为顶点的直角三角形。由AB∥x轴得∠BAC2=。∴△ABC2为正三角形，∠ABC1=，即为直线BC1倾斜角。下求有关直线方程亦相当简单。在后面讲完两条直线互相垂直

15、的充要条件后，由BC1⊥BC2，求出后，立即可以求；两种情况下的角A平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角A平分线斜率。例2、过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求出△AOB面积最小时直线l的方程。解题思路分析：从条件分析，因涉及到过定点P，故可选用点斜式，将斜率k作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。从结论分析，这是一个最值问题。应将△AOB面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求

16、该函数的最小值。思路一：直线l的斜率显然存在，设直线l：y-1=k(x-2)，由直线l的几何位置可知k<0（这是一个隐藏条件，却是解决本题关键。由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！）△AOB面积S=

17、OA

18、

19、OB

20、=≥+4]=4当且仅当-4k=，k=（舍正）时，Smin=4，此时直线l方程为x+2y-4=0思路二：设直线方程为，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1）∵P∈l∴…………①则△AOB面积S=问题转化为在条件①下求二元函数S的最小值，这在不等式中已多次