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时间:2020-02-28
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1、高二数学同步辅导教材(第14讲)一、本章主要内容8.3双曲线及其标准方程课本第104页至第108页二、本讲主要内容1、双曲线的定义2、双曲线的标准方程三、学习指导1、双曲线的定义用集合表示为{P
2、
3、
4、PF1
5、-
6、PF2
7、
8、=2a,2a>0,F1、F2是定点,2a<
9、F1F2
10、}。当2a=
11、F1F2
12、时,点P的轨迹是两条射线(线段F1F2的反向延长线)。当2a<
13、F1F2
14、时,平面上的点P不存在。称F1、F2为双曲线的焦点,线段F1F2的长度为焦距,用2c表示。2、焦点在x轴上的双曲线,其标准方程为(a>
15、0,b>0)。若记左焦点为F1(-c,0),右焦点为F2(c,0),则
16、PF1
17、>
18、PF2
19、时,点P在双曲线右支上;
20、PF1
21、<
22、PF2
23、时,点P在双曲线的左支上。焦点在y轴上的双曲线,其标准方程为(a>0,b>0),若记下焦点为F1(-c,0),上焦点为F2(c,0),则
24、PF1
25、>
26、PF2
27、时,点P在双曲线的上支上;
28、PF1
29、<
30、PF2
31、时,点P在双曲线的下支上。三个正实数a,b,c恒满足c2=a2+b2,应将它们的关系与椭圆相区别,椭圆中a2=b2+c2,a>b,a>c,b与c无大小关系;双曲线中
32、,c>a,c>b,a与b无大小关系。3、求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步:(1)选标准。判断焦点在哪根数轴上,还是两者均有可能;(2)定参数。途径一是待定系数法,即解方程组的思想;途径二是定义法。四、典型例题例1、就实数k的取值范围,讨论方程表示的曲线。解题思路分析:关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征,采用分类讨论的思想方法。当,333、时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当,k>9时,方程表示焦点在y轴上的双曲线。注:在判断方程表示的曲线时,应至少交代焦点的位置特征,在方程表示椭圆时,还应注意圆的情形是否存在。例1、求过点E(5,0)且与圆F:(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心P轨迹。解题思路分析:运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。设动圆圆心为r,则由E在圆P上知,34、PE35、=r由圆P与圆F外切知,36、PF37、=r+6消去参数r得:38、PF39、-40、PE41、=6∴点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。∴2a=b,a=3又c=42、5∴b=4∴所求双曲线的轨迹方程为(x≥3),轨迹为该双曲线的右支。注:利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点P轨迹方程,免去了很多繁琐的方程化简过程,希望同学们引起重视。双曲线定义中的距离差含有绝对符号,本题没有,因此只表示双曲线的一支。例3、已知椭圆(m>n>0)和双曲线(s>0,t>0)有相同的焦点F1、F2,P是两条双曲线的一个交点,求43、PF144、45、PF246、的值。解题思路分析:当题设涉及到焦点的距离时,一般考虑用定义解题,避免用两点间距离公式,增加计算的复杂程度。47、当P在椭圆上,48、PF149、+50、PF251、=……①当点P在双曲线上,52、53、PF154、-55、PF256、57、=……②①、②两式分别平方得:两式相减得:458、PF159、60、PF261、=4(m-s)∴62、PF163、64、PF265、=m-s注:从计算的角度看,本题涉及到整体运算的思想,把66、PF167、·68、PF269、作为一个变量。例4、焦点在x轴上的双曲线过点P(,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程。解题思路分析:用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。∵两焦点F1、F2关于y轴对称,点Q在y轴上∴△QF1F2为70、等腰直角三角形∴c=71、OF172、=73、OF274、=75、QA76、(O为坐标原点)∴c=5设双曲线方程则∴去分母,整理得a4-66a2+800=0∴a2=16,或a2=50(舍)∴b2=9∴所求双曲线的标准方程为例5、若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的直线互相垂直,求点P坐标。解题思路分析:法一:不妨设F1(0,-),F2(0,),P(x0,y0),则解之得:∴点P坐标为法二:用轨迹的思想解题因点P对定线段F1、F2张角等于900故点P在圆x2+y2=2上又点P在双曲线y2-x2=1上∴点P坐标为方程77、组的解解此方程组:,,下略五、同步练习(一)选择题1、双曲线的两个焦点分别为F1、F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则P到F2的距离为A、17B、7C、7或17D、2或222、在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是A、焦点在x轴上的椭圆B、焦点在x轴上的双曲线C、焦点在y轴上的双曲线D、焦点在y轴上的椭圆3、方程表示A、椭圆B、圆C、双曲线D、以上三种均有可能4、已知双曲线的焦距为26,,则双曲线的标准方程是A、B
33、时,方程表示焦点在x轴上的双曲线;当,k>9时,方程表示焦点在y轴上的双曲线。注:在判断方程表示的曲线时,应至少交代焦点的位置特征,在方程表示椭圆时,还应注意圆的情形是否存在。例1、求过点E(5,0)且与圆F:(x+5)2+y2=36外切的圆的圆心P轨迹。解题思路分析:运用与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。设动圆圆心为r,则由E在圆P上知,
34、PE
35、=r由圆P与圆F外切知,
36、PF
37、=r+6消去参数r得:
38、PF
39、-
40、PE
41、=6∴点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。∴2a=b,a=3又c=
42、5∴b=4∴所求双曲线的轨迹方程为(x≥3),轨迹为该双曲线的右支。注:利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一个重要思想方法。本题利用定义求点P轨迹方程,免去了很多繁琐的方程化简过程,希望同学们引起重视。双曲线定义中的距离差含有绝对符号,本题没有,因此只表示双曲线的一支。例3、已知椭圆(m>n>0)和双曲线(s>0,t>0)有相同的焦点F1、F2,P是两条双曲线的一个交点,求
43、PF1
44、
45、PF2
46、的值。解题思路分析:当题设涉及到焦点的距离时,一般考虑用定义解题,避免用两点间距离公式,增加计算的复杂程度。
47、当P在椭圆上,
48、PF1
49、+
50、PF2
51、=……①当点P在双曲线上,
52、
53、PF1
54、-
55、PF2
56、
57、=……②①、②两式分别平方得:两式相减得:4
58、PF1
59、
60、PF2
61、=4(m-s)∴
62、PF1
63、
64、PF2
65、=m-s注:从计算的角度看,本题涉及到整体运算的思想,把
66、PF1
67、·
68、PF2
69、作为一个变量。例4、焦点在x轴上的双曲线过点P(,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程。解题思路分析:用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。∵两焦点F1、F2关于y轴对称,点Q在y轴上∴△QF1F2为
70、等腰直角三角形∴c=
71、OF1
72、=
73、OF2
74、=
75、QA
76、(O为坐标原点)∴c=5设双曲线方程则∴去分母,整理得a4-66a2+800=0∴a2=16,或a2=50(舍)∴b2=9∴所求双曲线的标准方程为例5、若双曲线y2-x2=1上的点P与其焦点F1、F2的直线互相垂直,求点P坐标。解题思路分析:法一:不妨设F1(0,-),F2(0,),P(x0,y0),则解之得:∴点P坐标为法二:用轨迹的思想解题因点P对定线段F1、F2张角等于900故点P在圆x2+y2=2上又点P在双曲线y2-x2=1上∴点P坐标为方程
77、组的解解此方程组:,,下略五、同步练习(一)选择题1、双曲线的两个焦点分别为F1、F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则P到F2的距离为A、17B、7C、7或17D、2或222、在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是A、焦点在x轴上的椭圆B、焦点在x轴上的双曲线C、焦点在y轴上的双曲线D、焦点在y轴上的椭圆3、方程表示A、椭圆B、圆C、双曲线D、以上三种均有可能4、已知双曲线的焦距为26,,则双曲线的标准方程是A、B
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