高三数学同步辅导教材(第14讲).doc

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1、高三数学总复习教程（第14讲）一、本讲内容三角形内的三角函数问题与三角形有关的三角函数问题，解三角形二、学习指导：在三角形这个特定条件下：三角函数问题有哪些变化呢？通性是永远不会改变的，三角函数的性质，公式等当然继续有效，只是多出了一些特性罢了，例如，P：∠A＞∠B，q：sinA＞sinB，一般地说，P不是q的充分条件，也不是q的必要条件，但加了“在三角形中”这个前提后，p是q的充要条件，这是因为：在△ABC中A＞B.q：cosA＜cosB，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，但在三角形中，却有A＞BcosA＜cosB，这是因为，三角形内角不同在（0，π）而余弦函数在其间

2、单调递减等等，那么“在三角形中”给我们增添了一些什么条件呢？1．A、B、C、E（0，π），且A+B+C=π.2．a2+b2+c2－2bccosA.b2=c2+a2－2cacosBc2=a2+b2－2abcosC及其特殊情形：勾股定理；4．a=bcosC+ccosBb=acosC+ccosAc=acosB+bcosA（这个式子叫三角形中的射影定理，其证明见下一讲“平面向量”）直角三角形中的射影定理.5．三角形面积S=aha=absinC=2R2sinAsinBsinC=abc=pr(p=(a+b+c))=（最后一式已称为“海伦公式”）典型例题讲评例1．已知在△ABC中，sinA=

3、，判断它们形状，已知条件是角际关系，我们可以利用差化积（使出现B+C）以便利用内角和定理与A挂上钩，（见附录解法一）我们也可利用正、余弦定理，把已知条件化为边际关系，以便利用勾股定理逆定理或分解因式，出现a=b，a2=b2，a2+b2－c2=0等情况例2.在锐角△ABC中，p=+.（1）比较p与1的大小，说明理由.（2）求证：p＜+.条件为什么要“锐角三角”？无非要任一角均为锐角（从而三角函数值为正），任两角的和为钝角而已.A+B＞.∴A＞－B.左右均为锐角，∴sinA＞(－B)=cosB.同理，sinB＞cosA，这就为我们的大小比较开辟了道路。第（2）小题中用比较法，得等，

4、易知即tan(－A).再此比试处理.例3．已知△ABC的面积为S，若S=.（1）求ab的值；（2）若C=3，求角C的取值范围.同角的正余切相加减一般化为弦，tanα+catα==2csc2α，tanα－catα==－2cot2α.于是已知条件可写为absinC=9sinC，sinC≠0，∴ab=18.有了第（1）小题的结论，在cosC=中使用基本不等式就可求及cosC的取值范围，从而确定C的范围.例4．△ABC的三内角A、B、C成等差数列，若B的两斜边之差恰好等于B时边上的高，求sin的值.由A、B、C成等差数列，知B=.不妨设A≤C（注意若ε·不为0，则应有正负两值）hb=c

5、－a，这个条件怎么用？当然会想到面积：b(c－a)=bhb=acsinB，所求为角，故利用正弦定理有sinB(sinC－sinA)=sinAsinCsinB，约去sinB=.和积函化，便出现A+C（为已知，1200）与A－C，目的便可达到.例5．已知圆内接四边形中，A=2，BC=6，CD=DA=4求其面积.圆内接四边形的重要性质之一是“对角互补”从而对角的正弦值的相同，余弦值互为相反数，这样，我们就可以用对角线作为过渡，求出一组对角的余弦值，四边形面积就用此对角线分成的两个三角形面积之和来计算.例6．△ABC中，sinAcos2+sinCcos2=sinB.（1）求证：a、b、

6、c成等差数列；（2）若A、B、C成等差数列，判断△ABC的形状.（3）若最大角为π，求最小角.在（1）中，条件是“半角”“平方”，应想到降次，于是出现了sinA+sinAcosC+sinC+sinccosA=3sinB.利用和角公式变为sinA+sinC=2sinB就是很自然的事了.（2）中相当于加了条件B=，A+C=π，化积或直接代入，都可得出A=B=C（3）中，用余弦定理，求a、b、c相对关系，再用余弦乐定理求最小角，不是难事；也可利用正弦定理和此例性质：====∴=2sin(－A)－sinA，展开后即cosA－=2sinA两边平方化简可得28cos2A－12cosA－B=

7、0cosA=(－舍去，因A是最小角，为锐角)∴最小角当arccos例7．△ABC的外接圆的半径为R，若2R（sin2A－sin2C）=(a－b)sinB，求△ABC面积S的最大值。已知式中有角的正弦，有边，还有R，着手点无非化为边和化为角两条。若化为边，则两边周来2R，a2－c2=ab－b2，由余弦定理可推知C=450.若化为角，则2(sin2A－sin2C)=2sinB(sinA－sinB)左边降次，cos2C－cos2A=2sinB(sinA－sinB).左化积，2sin(A+C)sin