高三数学同步辅导教材(第5讲).doc

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1、高三数学总复习教程（第5讲）一、本讲内容简易逻辑本讲进度，命题，四种命题的关系，充要条件二、学习指导逻辑是正确解题的基础，逻辑错误会导致全功尽弃是否命题的关键是看它能否判定真假，是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词：或、且、非，如果……，那么……原命题：若p，则q：逆命题：若q，则p：否命题：若非p，则非q，逆否命题：若非q，则非p原命题与逆否命题互为逆否，同真假逆命题与否命题互为逆否，同真假.反证法就是从原命题的否定出发，推出矛盾（这个矛盾，指的是与已知条件矛盾，或与公理，定理矛盾，或与假设矛盾）

2、从而说明原命题的否定是错误的，这样就确立了原命题的正确性。要分清充分条件和必要条件，在证明充要条件时要分清充分性和必要性，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”三、典型例题讲评例1．在△ABC中，P：∠A＞∠B，q1=sinA＞sinB，q2：cosA＜cosB，q3：cotA＜cotB，q4：sinA＞cosB其中p是：（i=1，2，3，4）的什么条件？P是q1的充要条件，原因如下：∠A＞∠Ba＞b2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB；P是q2的充要条

3、件，原因如下：函数y=cosx在[0，π]上单调递减，而A，B∈[0，π]，∴∠A＞∠BcosA＜cosB；P是q3的充要条件，理由类似②P既不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件，理由如下：若△ABC，A=900，B=600，则sinA＞cosB，若△ABC中，A=1350，B=300，则sinA＜cosB例2．P为△ABC内（含边界）任一点，“p到三边距离之和为定值”是“△ABC是正三角形”的什么条件？证明你的结论。充要条件.充分性，分别取p为A、B、C，则它到三边距离之和分别为ha，hb，hc，由题设

4、ha=hb=hc，由面积公式，a=b=c，△ABC为正三角形必要性，若p在顶点处（不妨设p在A点），则p到三边距离之和即ha（当然与ha，hc相等，为定值）；若p点在边上（不妨设在BC上），则P到三边距离之和即p到b，c两边距离之和db+dc，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP.故有aha=a(db+db+dc)，∴db+dc当定值ha；若P点在三角形内部则S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，从而有aha=a(da+db+dc)，即da+db+dc=ha.例3．已知函数f(x)在（－∞，+∞）上

5、单调递增，a、b∈R，对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，则a+b≥0”（1）写出其逆命题，并证明它的真假.（2）写出其逆否命题，并证明它的真假.（1）逆命题：“若f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)，则a+b≥0”这是一个真命题，我们用反证法证明：假设a+b＜0，即a＜－b，b＜－a，而f(x)单调递增.故f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a).从而f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b).与已知矛盾，说明假设错误.∴a+b≥0(2)逆否命题：“f(a)+f(b)

6、＜f(－b)+f(－a)，则a+b＜0”这也是一个真命题，可类（1）用反证法证明.例4．已知p：≤2，q：x2―2x+1―m2≤0（m＞0）又知非p是非q的必要条件，但不是充分条件，求取m的取值范围。先化简p即x∈[－1，11]，q即x∈[1－m，1+m]非p：x＜－1或x＞11，非q：x＜1－m或x＞1+m.非q非p，故，解得m≥10当m≥10时，―1与1―m不可能相等，故非p非q.∴m∈例5．已知曲线C1：f(x－y)=0，C2：g(x，y)=0，点M坐标为（a，b），则M（C1∩C2）是的什么条件？说明

7、你的理由.M（C1∩C2）即M∈（C1∩C2）之否定，亦即之否定，也就是f(x，y)≠0或g(x，y)≠0，故M（C1∩C2），即MC1，且MC2，亦即M（C1∩C2）.∴M（C1∩C2）∴M（C1∩C2）是的必要条件，但不是充分条件.例6．α∈（0，），求证：2α可作为一个三边长均为整数的直角三角形的一个内角的充要条件是tanα是有理数.充分性.设tanα=（m，n∈N+，m，n互质，m＞n）则tan2α==，作两直角边长分别为2mn，m2－n2的直角三角形，则其斜边长为=m2+n2，该三角形有一内角为2α

8、，三角均为整数.证法二：∵tanα=，故可作Rt△ABC，AC=nk，BC=mk（k∈N*）（如图）作斜边AB的中垂线交BC于D，则AD=BD，∠ADC=2∠B=2α，设CD=x，则AD=+x，整理可得x=，取k=2m时x即当整数，此时CD=x=m2－n2，AC=2mn，AD=BD=2m2―(m2―n2)=m2+n2.均为整数.必要性：设Rt△ABC中，∠B=2α，三边均为整数，延长CB到D，使BD