初二数学同步辅导教材（第3讲）.doc

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1、初二数学同步辅导教材（第3讲）【教学进度】§8.2§8.3【教学内容】1．运用公式法2．分组分解法【重点、难点剖析】一、运用公式法1．常用的公式如下：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a22ab+b2=(a)22．运用公式分解因式（1）要注意公式的特点平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)特点是：公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反，每一项都可以化成某个数或某式的平方的形式，左边分解的结果：这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解成两个一次二项式的积。运用a2-b2=(a+b)(a-

2、b)分解因式已在上讲中我们已讲了例题，做了练习。（2）平方公式：a22ab+b2=(ab)2特点是：左边相当于一个二次三项式，首末两项是两个数或某个式子的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号正负均可，公式右边是某两个数或某两个式子的和或差的平方，完全平方公式分解之后，括号右上方的指数“2”，不要忘记，要特另注意。（3）运用公式法分解因式，对一些计算可以起到简化的作用，例如：4282-3282=(428+328)(428-328)=756×100=75600(4)无法考虑使用哪一个公式，在此

3、之前应先考虑是否可提取公式，因为它能使剩下的多项式因式简化，另外要检查分解后的多项式因式能否再分解。二、分组分解法1．对于一个含有四项或更多项的多项式进行分解因式，一般采用分组分解法来进行。2．分组原则（1）分组后能提公因式；（2）分组后能运用公式；例如：分解因式x2-xz+xy-yz，把前两项作为一组，后两项作为一组，当组内公因式提出后，同时组间产生了新的公因式，从而达到分解因式的目的，x2-xz+xy-yz=x(x-z)+y(x-z)=(x-z)(x+y)分组分解法分组并不是唯一的，对于x2-xz+xy-yz，可以把第一、

4、三两项作为一组，也可以把第二、四两项作为一组，同样可以达到因式分解目的：x2-xz+xy-yz=(x2+xy)+(-xz-yz)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z)例1．分解因式：（1）m4-1(2)a2-a+(3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16(4)x6-y6分析：对（1）、（2）、（3）明显可直接运用平方差公式或完全平方公式；对（4）可将x6,y6分别写为(x3)2和(y3)2解（1）m4-1=(m2-1)(m2+1)=(m+1)(m-1)(m2+1)(2)a2-a+=a2-2.a.+((3)1+6

5、(x+y)+9(x+y)2=12+2×3(x+y)×1+[3(x+y)]2=(1+3x+3y)2(4)x6-y6=(x3)2-(y3)2=(x3+y3)(x3-y3)=(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)点评：1．分解因式一定要彻底，即进行到每个多项式都不能再分解为止。如(4)如果分解因式m4-1=(m2-1)(m2+1)就叫做分解因式不彻底。2．立方和(差)公式：a3,在分解因式的时候也经常用到，熟悉并掌握是有好处的。如(4)中就用到这个公式，以使分解因式达到彻底。例2．分解因式（1）xn+1-6xn

6、+9xn-1(2)x6(x+y-z)+y6(z-x-y)分析：提取公因式后再运用公式解（1）原式=xn-1(x2-6x+9)=xn-1(x-3)2（2）原式=(x+y-z)(x6-y6)=(x+y-z)[(x3)2-(y3)2]=(x+y-z)(x3+y3)(x3-y3)=(x+y-z)(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)例3．分解因式（1）x3(x-2y)+y3(2x-y)(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24分析：本题二个小题从原形式来既不能提取公因式入手来分解因式，又不能直接应用公式

7、进行因式分解，为此先展开变形后运用公式。解（1）原式=x4-2yx3-2xy3-y4=(x4-y4)-(2x3y-2xy3)=(x2+y2)(x2-y2)-2xy(x2-y2)=(x2-y2)(x2+y2-2xy)=(x+y)(x-y)(x-y)2=(x+y)(x-y)3(2)原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-24设x2+5x+5=y则原式=(y-1)(y+1)-24=y2-25=(y+5)(y-5)=(x2+5x+10)(x2+5x)=x(x+5)(x2+5x

8、+10)(2)展开时考虑到两个二次三项式中二次项与一次项分别相等，这里引入辅助字母y=x2+5x+5，而x2+5x+5是x2+5x+4与x2+5x+6的平均值，所以这种换元称为均值换元。例4．把mx+nx+my+ny因式分解分析：多项式共有四项，可按公因式分成两组mx与nx,