初二数学同步辅导教材(第13讲)

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1、初二数学同步辅导教材（第13讲）【教学进度】§3.12(几何课本P65-P72)【教学内容】等腰三角形的性质【重点、难点剖析】1．主要知识点（1）等腰三角形的两底角相等（简写为等边对等角或底角相等）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）（3）等边三角形的各角都相等，并且每一角都等于6002．重点剖析（1）等腰三角形的三线合一性，它可以分解成三条性质，其中每一条都是由两个已知条件和两个结论组成：①②③（2）在等腰三角形中的三线合一，是证明线段相等、角相等及两直线垂直的重要依据。常常根据具体情况，适当增添辅助线

2、，在增添辅助线时，不能对辅助线要求过高，一般只能增添顶角的平分线、底边上的高、中线中的某一条。象作一边上的高并且要平分这一条边；作一边的中线并且垂直于这一条边；作一个角的平分线并且垂直平分对边，等等，这些都是不正确的。作图时也只能作顶角平分线，或者只能作底边上的高，或者只能作底边上的中线，然后再说明这条辅助线具有三线合一性。【典型例题】例1．已知，如图1ΔABC中，AB>AC，在AB上截取AE=AC，AD为∠BAC的平分线，EF∥BC，求证：∠DEC=∠FEC分析：题中有AE=AC，必然有等腰三角形AEC，AD是∠EAC的平分线，等腰三角形顶角的平分

3、线、底边上的高与底边中线三线合一，AE⊥EC，O为EC中点。证明：∵AE=AC，AD平分∠EAC（已知）∴EO=CO，AD⊥EC（等腰三角形顶角的平分线又是底边上的中线、高线）在RtΔDEO与RtΔDCO中又∵EF∥BC（已知）∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等）∴∠FEC=∠DEC点评：“三线合一”是等腰三角形的一个重要性质，是证明中常用的线段，也常作为一条辅助添置在图中。例2．求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。分析：此题是文字题，应把文字题“翻译”成“已知”、“求证”等符号语言。（1）要证明（如图2），可以作∠A的平分线AE

4、。证明∠DBC=∠CAE，根据等腰三角形的三线合一性，AE⊥BC，得∠CAE=900-∠C，再从BD⊥AC中易得到∠DBC=900-∠C分析(2):要证明也可以证明2∠DBC=∠A，因此作∠DBF=∠DBC，然后证明∠FBC=∠A，由于可以证得BF=BC，∴∠FBC=1800-2∠C，再由AB=AC，∠B=∠C，得∠A=1800-2∠C。分析(3):在RtΔDBC中，∠DBC=900-∠C，故应证明，即证明∠A=1800-2∠C，由于∠A=1800-（∠B+∠C），故证明∠B=∠C即可，由AB=AC可知∠B=∠C已知：如图2，ΔABC中，AB=AC，

5、BD⊥AC求证：证法1：作BAC的平分线交BC于E，则∵AB=AC（已知）∴（三线合一）即∠EAC+∠C=900又∵BD⊥AC∴∠DBC+∠C=900∴∠DBC=∠EAC（同角的余角相等）∴（等量代换）证法2作∠DBF=∠DBC，在ΔCBD与ΔFBD中，∴ΔCBD≌ΔFBD（ASA）∴BF=BC（两三角形全等对应边相等）∴∠FBC=1800-∠C又∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）∴∠A=1800-(∠B+∠C)=1800-2∠C∴∠A=∠FBC(等量代换)∴证法三∵BD⊥BC（已知）∴∠BDC=900（垂直定义）在ΔBCD中，∠DBC-∠C=9

6、00∴∠DBC=900-∠C∵AB=AC（已知），ΔABC是等腰三角形，作∠BAC的平分线AE交BC于E，则AE⊥BC（三线合一）∴∠AEC=900，∠EAC=在ΔEAC中，∠C+∠EAC=900在ΔBDC中，由BD⊥AC（已知）得∠BDC=900（垂直定义）∴∠DBC+∠C=900∴∠DBC=∠EAC（等角的余角相等）即点评：证明一个角（或一条线段）是另一个角（或一条线段）的一半或者2倍时，常用的方法是：①找出或作出等于较小角（或线段）的2倍的角（或线段），证明它与较大的角（或线段）相等。②找出或作出较大角（或线段）一半的角（或线段），证明它与较小

7、角（或线段）相等。③有时也可以从有关的数量关系中经过计算得到。例3．已知，如图3，ΔABC中，D是BC中点，过D作DE⊥DF交AB，AC于E，F点。求证：BE+FC>EF分析：BE、FC不在同一个三角形内，要证明线段之间的不等关系，要把它们转化到同一个三角形中，添辅助线如图3。证明：延长FD，并截取GD=FD，连结EG、BG，在ΔBGD和ΔCFD中，∴ΔBGD≌ΔCDF（对顶角相等）∴GB=FC（两三角形全等，对应边相等）又∵ED⊥DF，GD=FD，ED=ED∴ΔEGD≌ΔEFD（SAS）∴EG=EF（两三角形全等，对应边相等）在ΔEBG中，BE+G

8、B>EG∴BE+FC>EC（等量代换）例4．已知，如图4，在ΔABC中，点D、E分别在AC和AB上，如果AE