导数在多变量问题中的应用(1).docx

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1、导数在多变量问题中的应用（１）一．结构相同“视一”法．已知函数f()cosxsin,[0,]．xxxx2（１）求证：f(x)0；sinx（２）若ab对x(0,)恒成立，求a的最大值与b的最小值．x2第1页共15页巩固练习：已知函数f(x)(a1)lnxax21．（１）讨论函数f(x)的单调性；（２）设a1.如果对任意x1,x2(0,)，

2、f(x1)f(x2)

3、4

4、x1x2

5、，求a的取值范围．第2页共15页二．利用相关变量“消元”法．已知常数a0,函数fxln1ax2x．x2（１）讨论fx在区间0,上的单调性;（２）若fx

6、存在两个极值点x1,x2,且fx1fx20,求a的取值范围．f'x2a1a,则函数f2a1a0xx在区间0,aa2a1aa单调递增的.单调递减,在第3页共15页0,1上单调递减,则gtg10,即fx1fx20恒成立,综上a的取值范围为1,1.2练习：已知函数f(x)(x33x2axb)ex．（１）如ab3，求f(x)的单调区间；（２）若f(x)在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明＜6．第4页共15页三．利用换元“消元”法．已知函数f(x)ex,xR．（１）若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图

7、像相切,求实数k的值；（２）设x>0,20)公共点的个数；讨论曲线y＝f(x)与曲线ymx(m（３）设a

8、综上所述，存在x0(x1,x2)使f(x0)k成立.且x0的取值范围为(1lneax2eax1,x2)．aa(x2x1)第7页共15页四．转化为线性规划问题来“整体”处理．已知a＞0，bR，函数fx4ax32bxab．（１）证明：当0≤x≤1时，（ⅰ)函数fx的最大值为

9、2a－b

10、﹢a；（ⅱ)fx＋

11、2a－b

12、﹢a≥0；（２）若﹣1≤fx≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．第8页共15页取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：b2a和b2a，目标函数为z＝a＋b．ba13ab1作图如下：第9页共15页导数在多变量问题

13、中的应用（２）五．利用集合关系来转化处理．已知a0，函数f(x)xax．2a（１）记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式；（２）是否存在a，使函数yf(x)在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．．第10页共15页练习：已知函数f(x)x3(k2k1)x25x2，g(x)k2x2kx1，其中kR．（１）设函数p(x)f(x)g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；．．．（２）设函数q(x)g(x),x0,x1，存

14、在惟一f(x),x是否存在k，对任意给定的非零实数0.的非零实数x2（x2x1），使得q(x2)q(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．六．利用均值不等式来“放缩”消元．已知函数fxx22alnxx0，fx的导函数是f'x，对任意两个不x相等的正数x1,x2，证明：（１）当（２）当afx1fx2x1x20时，2f2a4时，f'x1f'x2x1x2第11页共15页证明：（１）由fxx22alnxx得fx1fx212211alnx1lnx222x1x2x1x22122x1x2alnx1x22x1x2x1x2

15、x1x2x1x224alnx1x2f22x1x22而1x1212x1x22x22x12x222x1x2①242又xx2x2x22xx4xx，∴x1x24②12121212x1x2x1x2∵xxx1x2∴lnxx2lnx1x212212∵a0∴alnx1x2alnx12x2③由①、②、③得1x1x2x1x224x12x22alnx1x2x1alnx1x22x1x22x2即fx1fx2fx1x222（２）由fxx22alnx，得f'x2x2axx2x∴f'x1f'x22x12a2x22ax1x22x1x2ax12x1x22x

16、222x22x1x2x1f'x1f'x2x1x222x1x2a1x12x22x1x2下面证明对任意两个不相等的正数x1,x22x1x2a1恒成立,有2x2x2xx1212即证ax1x22x1x2成立x1x2∵x1x22x1x2x1x24，设tx1x2,uxt24t0，x1x2x1x2t则u'x2t4，令u'x0得t3