导数在多变量问题中的应用(1).doc

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1、导数在多变量问题中的应用（１）一．结构相同“视一”法．已知函数．（１）求证：；（２）若对恒成立，求的最大值与的最小值．第16页共16页巩固练习：已知函数．（１）讨论函数的单调性；（２）设.如果对任意，，求的取值范围．第16页共16页二．利用相关变量“消元”法．已知常数,函数．（１）讨论在区间上的单调性;（２）若存在两个极值点,且,求的取值范围．,则函数在区间单调递减,在单调递增的.第16页共16页上单调递减,则,即恒成立,综上的取值范围为.练习：已知函数．（１）如，求的单调区间；（２）若在单调增加，在单调减少，证明＜6．第16页共16页三．利用换元“消元”法．已知函数

2、．（１）若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值；（２）设x>0,讨论曲线y＝f(x)与曲线公共点的个数；（３）设a

3、时，（ⅰ)函数的最大值为

4、2a－b

5、﹢a；（ⅱ)＋

6、2a－b

7、﹢a≥0；（２）若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．第16页共16页取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．作图如下：第16页共16页导数在多变量问题中的应用（２）五．利用集合关系来转化处理．已知，函数．（１）记求的表达式；（２）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．．第16页共16页练习：已知函数，，其中．（１）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（２）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，

8、存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．六．利用均值不等式来“放缩”消元．已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（１）当时，（２）当时，第16页共16页证明：（１）由得而①又　，∴②∵∴∵∴③由①、②、③得即（２）由，得∴下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立∵，设，则，令得，列表如下：极小值∴第16页共16页∴对任意两个不相等的正数，恒有七．齐次结构“作商”消元．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0．（１）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（２）设函数

9、f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．解：（１），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解．又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解．①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1

10、0，+∞）．（２）设点P、Q的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），0

11、域为.令当当又故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.（２）由（１）结论知由题设因此所以又综上证法二：设则当在此内为减函数.当上为增函数.第16页共16页从而，当有极小值因此即设则当因此上为减函数.因为即第16页共16页