放缩法在导数压轴题中的应用.doc

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1、恰当采用放缩法巧证导数不等式放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考．一、例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设.证明：当时，.二、例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数.当时，证明.三、两个常用的函数不等式：例3（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数，曲线在点处的切线方程为.（I

2、）求（II）证明：.例4（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知.当时，证明对于任意的成立.四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数.（I）证明当时，；（II）设，证明当时，.例6（2013年高考辽宁卷理科21题）已知函数当时，（I）证明：；（II）确定的所有可能取值，使得恒成立例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设.证明：当时，.证明：由基本不等式，当时，，故.记，则.当时，，所以在内是减函数.故又由，所以，即，故当时，.评注：本题第(Ⅱ)

3、问若直接构造函数，对进行求导，由于中既有根式又有分式，因此的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明，亦即是将抛物线弧放大化简为直线段，而该线段正是抛物线弧在左端点处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法.二、例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数.当时，证明.证法1：函数的定义域为，则.设，因为，所以在上单调递增.又，，故在上有唯一实根.当时，，；当时，，，从而当时，取得最小值为.由方程

4、的根为，得，，故（当且仅当取等号），又因为时，所以.取等号的条件是，及同时成立，这是不可能的，所以，故.证法2：因在定义域上是增函数，而，所以，故只需证明当时，即可.当时，在上单调递增.又，故在上有唯一实根，且.当时，；当时，，从而当时，取得最小值.由得，，故.综上，当时，.评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数，因而在判断的零点和求取得最小值显得较为麻烦；证法2证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典范例.三、两个常用的

5、函数不等式：例3（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数，曲线在点处的切线方程为.（I）求（II）证明：.分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第（I）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数的导数，易得.第（II）问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II）问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.证明：由，得，即，故（当且仅当时取等号）①又由，得

6、，故，两边取自然对数得，即（当且仅当时取等号）②由于①、②式等号不能同时成立，两式相加得，两边同乘以，得.例4（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知.当时，证明对于任意的成立.证明：的定义域为，，时，，，由②得，.即只需证，令，，则.设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，由于，因此当时，，当且仅当时取得等号，所以，即对于任意的恒成立.评注：要证明，比较麻烦的是式子中有，如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式

7、进行放缩，方法自然，水到渠成.四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数.（I）证明当时，；（II）设，证明当时，.证明：（I）易证当时，，，即.（II）由题设，设，则，令，，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.由（I）知，，故，又，故当时，.所以当时，．评注：本题第（II）问利用第（I）中已证明的不等式及巧妙地求出，进而利用在单调性及端点值证明出．利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避

8、开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向．下面再看一例：例6（2013年高考辽宁卷理科21题）已知函数当时，（I）证明：；（II）确定的所有可能取值，使得恒成立证明：（I）证明：要证时，只需证明．记，则．当时，，因此在上是增函数，故．所以，．要证时，，只需证明．综上，（II）解：．设，则．记，则．当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数．于是，从而．所以，当时，在上恒成立．下面证明，当时，在上不恒成立．，记，则，当时，，故在上是减函数，于是在上的值域．因为当时，，所以存