放缩法在解题中的应用

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1、放缩法在解题中的应用放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。放缩法在近几年高考试题中多次出现，它可以考察学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，是高中数学中的难点。下面从几道高考题谈谈解这类题的常见方法。1.（2006．全国卷I）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1

2、=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<在（2）的证明中观察特点，巧妙用好了裂项求和

3、，在放缩。2.（2006福建卷）已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(n∈N)（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;（Ⅲ）证明:(n∈N*).（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即　（II）证法一：　　　　　　　　　　　　　①　　　　　　②②－①，得即　③－④，得　即　是等差数列。（III）证明：3.（2010四川文数）（22）（本小题满分14分）w_ww.k#s5_u.co*m设（且），

4、g(x)是f(x)的反函数.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，恒有成立，求t的取值范围；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.解：(1)由题意得：ax＝＞0故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)……………………3分(2)由得w_ww.k#s5_u.co*m①当a＞1时，＞0又因为x∈[2,6],所以0＜t＜(x－1)2(7－x)令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7,x∈[2,6]则h'(x)＝－3x2＋18x－15＝－3(x－1)(x－5

5、)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6h'(x)＋0－h(x)5↗极大值32↘25所以h(x)最小值＝5，所以0＜t＜5②当0＜a＜1时，0＜又因为x∈[2,6],所以t＞(x－1)2(7－x)＞0令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7,x∈[2,6]由①知h(x)最大值＝32,x∈[2,6]所以t＞32综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32.……………………9分(3)设a＝，则p≥1当n＝1时,f(1)＝1＋≤3＜5w_ww.k#s5_u.co*m当n≥2时

6、设k≥2，k∈N*时则f(k)＝所以f(k)≤1＋＝1＋＝1＋从而f(2)＋f(3)＋……＋f(n)≤n－1＋＜n＋1所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜f(1)＋n＋1≤n＋4综上，总有f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜n＋4……………………14分另解。由0＜a≤，得。f(k)＝（2007年四川高考）已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）其中n为正实数.（Ⅰ）用xx表示xn+1；（Ⅱ）若a1=4，记an=

7、lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.（Ⅰ）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（Ⅱ）由，知，同理．　　　故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．从而所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴∴当时，显然．当时，∴　　　综上，．2006年（江西卷）已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！解：

8、（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）…………1°（2）证：据1°得，a1·a2·…an＝为证a1·a2·……an<2·n！只要证nÎN*时有>…………2°显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有³1－（）…………3°用数学归纳法证明3°式：（i）n＝1时，3°式显然成立，（ii）设n＝k时，3°式成立，即³1－（）则当n＝k＋1时，³〔1－（）〕·（）＝1－（）－＋（