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《放缩法在解题中的应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、放缩法在解题中的应用放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。放缩法在近几年高考试题中多次出现,它可以考察学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力,是高中数学中的难点。下面从几道高考题谈谈解这类题的常见方法。1.(2006.全国卷I)设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:解:(Ⅰ)由Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3,…,①得a1=S1=a1-×4+所以a1=2.再由①有Sn-1=an-1-×2n+,n=2,3,4,…将①和②相减得:an=Sn-Sn-1
2、=(an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n-2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n-2n代入①得Sn=×(4n-2n)-×2n+1+=×(2n+1-1)(2n+1-2)=×(2n+1-1)(2n-1)Tn==×=×(-)所以,=-)=×(-)<在(2)的证明中观察特点,巧妙用好了裂项求和
3、,在放缩。2.(2006福建卷)已知数列{a}满足a=1,a=2a+1(n∈N)(Ⅰ)求数列{a}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:(n∈N*).(I)解:是以为首项,2为公比的等比数列。即 (II)证法一: ① ②②-①,得即 ③-④,得 即 是等差数列。(III)证明:3.(2010四川文数)(22)(本小题满分14分)w_ww.k#s5_u.co*m设(且),
4、g(x)是f(x)的反函数.(Ⅰ)求;(Ⅱ)当时,恒有成立,求t的取值范围;(Ⅲ)当0<a≤时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小,并说明理由.解:(1)由题意得:ax=>0故g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)……………………3分(2)由得w_ww.k#s5_u.co*m①当a>1时,>0又因为x∈[2,6],所以0<t<(x-1)2(7-x)令h(x)=(x-1)2(7-x)=-x3+9x2-15x+7,x∈[2,6]则h'(x)=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5
5、)列表如下:x2(2,5)5(5,6)6h'(x)+0-h(x)5↗极大值32↘25所以h(x)最小值=5,所以0<t<5②当0<a<1时,0<又因为x∈[2,6],所以t>(x-1)2(7-x)>0令h(x)=(x-1)2(7-x)=-x3+9x2-15x+7,x∈[2,6]由①知h(x)最大值=32,x∈[2,6]所以t>32综上,当a>1时,0<t<5;当0<a<1时,t>32.……………………9分(3)设a=,则p≥1当n=1时,f(1)=1+≤3<5w_ww.k#s5_u.co*m当n≥2时
6、设k≥2,k∈N*时则f(k)=所以f(k)≤1+=1+=1+从而f(2)+f(3)+……+f(n)≤n-1+<n+1所以f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)<f(1)+n+1≤n+4综上,总有f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)<n+4……………………14分另解。由0<a≤,得。f(k)=(2007年四川高考)已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)其中n为正实数.(Ⅰ)用xx表示xn+1;(Ⅱ)若a1=4,记an=
7、lg,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.(Ⅰ)由题可得.所以曲线在点处的切线方程是:.即.令,得.即.显然,∴.(Ⅱ)由,知,同理. 故.从而,即.所以,数列成等比数列.故.即.从而所以(Ⅲ)由(Ⅱ)知,∴∴当时,显然.当时,∴ 综上,.2006年(江西卷)已知数列{an}满足:a1=,且an=(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·……an<2·n!解:
8、(1)将条件变为:1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)…………1°(2)证:据1°得,a1·a2·…an=为证a1·a2·……an<2·n!只要证nÎN*时有>…………2°显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个nÎN*,有³1-()…………3°用数学归纳法证明3°式:(i)n=1时,3°式显然成立,(ii)设n=k时,3°式成立,即³1-()则当n=k+1时,³〔1-()〕·()=1-()-+(