放缩法在初中数学竞赛中的应用

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1、放缩法在初中数学竞赛中的应用【】在初中数学竞赛中，经常应用放缩法解决最值问题、不定方程问题以及不等式问题与完全平方数问题等.放缩法的灵活运用能激发学生学习数学的兴趣，进一步提高学生应用数学方法分析问题和解决问题的能力.　　【关键词】放缩法；数学竞赛；应用　　　　所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程.下面结合实例谈一谈放缩法在解决初中数学竞赛问题中的应用.　　一、放缩法在最值问题中的应用　　例１若实数ｘ，ｙ满足｜ｘ｜＋｜ｙ｜≤１，求ｘ２－ｘｙ＋ｙ２的最大值.　　解∵ｘ２－ｘｙ

2、＋ｙ２＝（ｘ＋ｙ）２＋（ｘ－ｙ）２，　　又∵｜ｘ±ｙ｜≤｜ｘ｜＋｜ｙ｜≤１，　　∴ｘ2－ｘｙ＋ｙ2＝（ｘ＋ｙ）２＋（ｘ－ｙ）２≤（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）２＋（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）２≤（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）２＝１.　　当ｘ，ｙ中一个为０，另一个为１时，上式等号成立．故ｘ２－ｘｙ＋ｙ２的最大值为１.　　通过以上问题的解决，可以培养学生根据不等式的基本性质应用放缩法来解决最值问题的能力，上面的问题还可以做如下的变式训练：　　变式训练已知二次函数ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ的图像与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｍ，ｎ且｜ｍ｜＋｜ｍ｜≤１，设满足上

3、述条件的ｂ的最大值和最小值分别为Ｐ和Ｑ，求｜Ｐ｜＋｜Ｑ｜的值（全国初中数学联赛）.　　二、放缩法在不等式问题中的应用　　例２设ａ１，ａ２，…，ａｎ是ｎ（ｎ＞１）个互不相同的正整数，求证：…＋＜２．　　证明∵ａ１，ａ２，…，ａn是ｎ个互不相同的正整数，　　∴不妨设１≤a1

4、，进一步增强学生学习数学的兴趣.上面的问题还可以做如下的变式训练.　　变式训练若ｎ∈Ｎ，Ｓ＝…　　求证：ｎ＜Ｓ＜ｎ＋１．　　三、放缩法在不定方程问题中的应用　　例３求方程=的正整数解．　　解∵ｘ＋１＜ｘ＋２＜ｘ＋３，　　∴＜<，　　∴＜<，　　解得：-<ｘ<.　　∵ｘ为正整数，∴ｘ＝１．　　经检验：ｘ＝１满足题意，即方程的正整数解为ｘ＝１.　　以上的不定方程问题还可推广为如下问题：　　例４已知ｘ，ｙ，ｚ都是正整数，且２８ｘ＋３０ｙ＋３１ｚ＝３６４，求ｘ＋ｙ＋ｚ的值.　　解∵２８（ｘ＋ｙ＋ｚ）＜２８ｘ＋３０ｙ＋３１

5、ｚ＜３１（ｘ＋ｙ＋ｚ），　　∴２８（ｘ＋ｙ＋ｚ）＜３６４＜３１（ｘ＋ｙ＋ｚ）.　　解得：１１<ｘ＋ｙ＋ｚ<１３.　　∵ｘ，ｙ，ｚ都是正整数，∴ｘ＋ｙ＋ｚ＝１２．　　通过以上的问题的解决，不但拓宽了学生的解题思路，而且培养了学生的整体思想意识.以上问题还可以做如下的变式训练：　　变式训练１若自然数ｘ＜ｙ＜ｚ，ａ为整数，求方程=ａ的自然数解．　　变式训练２从１开始，写出一组连续的正整数，然后擦去一个数，其余的平均数为３５，求擦去的数是多少.　　四、放缩法在完全平方数问题中的应用　　例５求使得ｍ２＋ｍ＋７是完全平方数的

6、所有正整数ｍ的值．　　解（１）当ｍ≥７时，ｍ＋７≤２ｍ，　　于是ｍ２＜ｍ２＋ｍ＋７≤ｍ２＋２ｍ＜（ｍ＋１）２.　　此时，ｍ２＋ｍ＋７介于两个连续整数的平方之间，不是完全平方数.　　（２）当１≤ｍ＜７时，ｍ＝１，２，３，４，５，６，经检验，只有当ｍ＝１和６时，ｍ２＋ｍ＋７才是完全平方数，故ｍ＝１或６.　　通过以上问题的解决，不但学生掌握了判断一个正整数是否为完全平方数的方法，而且培养了学生的分类讨论的数学思想.上面的问题还可以做这样的变式训练：　　变式训练求使得ｍ２＋ｍ＋７是完全平方数的所有整数ｍ的积.　　通过以上

7、四个方面问题的探讨，并根据中学数学课标中指出“要培养学生分析问题和解决问题的能力”，同时要注意数学思想方法的运用和创新意识的培养，因此，要把培养学生的“应用数学意识”落实到初中数学竞赛的教学中去，使学生了解数学在各方面的广泛应用，从而提高学生对数学竞赛学习的兴趣，并逐步形成应用数学的良好习惯.　　　　【