放缩法在解题中的应用.doc

《放缩法在解题中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、放缩法在解题中的应用在初中数学竞赛中，经常需要运用放缩法来求解一类问题，所谓放缩法，就是将代数式的某些部分适当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解题的目的．在使用放缩法解题时，要注意放和缩的“度”．本文举例说明放缩法在解题中的具体用法．一、利用已知数据的大小关系进行放缩例1若，则S的整数部分是_______．(2001年山东省初中数学竞赛)分析此题显然不宜先计算S的值再求其整数部分．注意到S中的有关数据满足，故可使用放缩法，先判断S的值所处的范围，然后解决问题．所以S的整数部分是90．例2与的大小关系是____

2、___．(填“>”，“<”或“＝”)(2002年第13届“希望杯”数学邀请赛初二第2试)注本题使用作商法比较大小，在判断商与1的大小时两次使用了放缩法．二、利用已知的不等条件进行放缩例3已知两个整数a、b，满足0

3、，2)、(6，3)、(8，4)；③若＝7，则2a＝7b．结合整数a、b满足0b>c，a＋a＋c＝0．那么，的取值范围是______．(2006年我爱数学初中生夏令营数学竞赛)解析利用a>b>c对a＋b＋c进行三次

4、不同的放缩：0＝a＋b＋c<3a，故a>0；0＝a＋b＋c<2a＋c，故>－2；0＝a＋b＋c>a＋2c，故<－．所以的取值范围是－2<<－．例5设a、b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9<<0.91．则b2－a2等于()．(A)171(B)177(C)180(D)182(2005年全国初中数学竞赛)解析我们首先利用放缩法求出正整数b的范围：由0.9<<0.91，知0.9b

5、或31．当b＝30时，由0.9b

6、15，x≤．所以正整数x共有3种可能，即x＝1、2或3．若x＝1，则变形得(y－5)(z－5)＝30．易得正整数组(y，z)为(6，35)、(7，20)、(8，15)或(10，11)；若x＝2，则变形得(2y－5)(2z－5)＝45．易得正整数组(y，z)为(3，25)、(4，10)或(5，7)；若x＝3，则变形得(3y－5)(3z－5)＝70．易得正整数组(y，z)为(4，5)；综上所述，满足x≤y≤z的正整数组(x，y，z)共有8组．②最后来求所有的正整数组(x，y，z)．因为方程关于x、y、z对称，且①中求得的每

7、一组(x，y，z)中的x、y、z的值互不相同，所以由①中每一数组均可以得到6个满足的数组(x，y，z)．故所有满足的正整数组(x，y，z)有48组．注由本题可以看出，当问题中的几个量所满足的条件具有对称性时，我们不妨先构造它们之间的大小关系．例7已知p、q、、都是整数，且p>1，q>1．求p＋q的值．(2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛)解析分两种情况来求解：①当p≥q>1时，≤<2．又是正整数，故，于是p＝2q－1．∴整数＝＝4－．又q>1，∴整数q＝3．将q＝3代入p＝2q－1得p＝5．∴p＋g＝8；②当q>p

8、>1时，同样的方法可求得p＝3，g＝5．∴p＋g＝8．综合①、②知，p＋g＝8．例8将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数是()．(A)5(B)6(C)8(D)10(1998年北京市初二数学竞赛初赛)解析不妨设三角形三边分别为a、b、c，其中a≥b≥c．由题意知a＋b＋c＝20，b＋c>a．所以通