放缩法在高等数学中的应用_杨鑫.pdf

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1、科技信息○高校讲坛○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2012年第11期放缩法在高等数学中的应用杨鑫(东北财经大学津桥商学院辽宁大连116110)【摘要】放缩法在高等数学中是重要的解题方法和技巧之一，放缩法的合理使用，往往能收到事半功倍的效果，但其缺点也显而易见，学生普遍感到要很好驾驭它并不容易。利用放缩法可以将复杂的问题变成简单的问题，将抽象的问题变成具体的问题。本文就如何运用放缩法（放大或缩小）解决高等数学中的问题提出了一些见解。【关键词】方式；目标；适度；高等数学；放缩法放缩法是将有关

2、的数或算式适当地放大缩小的一种变形技巧，它∞1是通过估计研究对象与其最终目标的“差值”，然后加以调整，使其逐1.3.2举例：判别级数Σn(n+1)的敛散性n=1步靠近目标的一种逼近型方法。也就是将复杂的问题简单化，抽象的1111解：已知un=，因为n+1>n，所以<，故un=<问题具体化。为了让大家能够更好的掌握这个比较好的技巧，我将从n(n+1)n+1nn(n+1)以下两个方面详细的为大家介绍一下：∞∞111而Σ是P=2>1的P级数，根据比较判别原则知级数Σn2n2n(n+1)1放缩的方式n=1n=1收敛。1.1

3、舍、添恒正或恒负的项1.4利用函数的单调性1.1.1解题方法：1.4.1解题方法：在有关变形中，有时需要舍、添某些项，如果舍、添的项是定号的，先确定某函数在特定区间的单调性，其方法是求其一阶导数，若那么其值被放大或缩小，这是一种常见的放缩方式。在数学分析中证一阶导数大于零，说明该函数在特定区域是单调递增；若一阶导数小明级数收敛应用广泛，常常借助柯西收敛准则，下面举一例说明。于零，说明该函数在特定区域是单调递减。然后将该区间中某点处的∞1111函数值换成该区间中另一点处的函数值。1.1.2举例：证明级数Σ=1+++…

4、＋+…收敛n22232n22πn=11.4.2举例：试证x>sinx>x，(00，又因为f(0)=0，1112un+1+un+2+un+3+…＋un+p=2+2+…+2ππ(n+1)(n+2)(n+p)所以在(0，)内，f(x)-f(0)>0，即x-sinx>0，x>sinx(0

5、+p)sinx-x，y(0)=y()=0，所以在n0，乙上函数不是单调的，我们来考π22111111111=(-)+(-)+…+(-)=-<π22nn+1n+1n+2n+p-1n+pnn+pn察y(x)在(0，)上的极限。因为y′(x)=cosx-=0，x=arccos，而y″(x)2ππ1于是，坌ε>0，只要取N=nnε，当n>N时，坌p∈IN，有ππ=-sinx<0(0

6、(n+2)(n+p)为零，因此在(0，)内y(x)>0，即sinx>x(0sinx>x(0

7、sx≤1，在解题中发挥很好的作用。设中的xn，满足un≤xn≤vn，若un，vn同时收敛到x0，则Σxn也收敛到x0。+∞∞sinx111.2.2举例：证明乙dx发散1.5.2举例：判别级数Σn-ln(1+)乙的敛散性0xnnn=1+∞1+∞sinxsinxsinx1111111证：因为乙dx=乙dx+乙dx，而sinx解：已知

8、(n+1)n=1nnxx+∞2+∞2放缩的目标sinx1-cos2x易证：乙dx=乙dx发散1x1x从上面一些例子看出，恰当地使用放缩，往往能够使问题解法简+∞+∞+∞cos2x1sinx因为乙dx收敛，乙dx发散，于是乙dx是发捷，但是放缩并不是随意进行的，在证题过程中无论是“放”还是“缩”，1x1x0x都要恰到好处，而且这恰到好处中包含了较强的技巧性，放