高中数学向量复习讲义新人教A版必修4.docx

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1、数学必修4平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量aa0a3.平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：ab模相等，方向相同；相反向量：ab模相等，方向相反5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；AOB叫做a与b的夹角。6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若axiyj，则x,y叫做a的坐标。7.向量a在b方向上的投影：设为a、b的夹角，则acos为a在b方向

2、上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：ax1,y1；bx2,y2加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角x2,y1y2线为和向量。a+b=x1<2>三角形加法法则：首尾相连记：ABBCAC减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减x2,y1y2a-b=x1向量）记：OAOBBAABACCB数乘

3、

4、

5、a

6、ax1,y1a是一个向量，a方向：0时，与a同向；0时，与a反向；0时，a0数量积a·b=x1x2y1y2a·b=

7、a

8、

9、b

10、cos三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向

11、量a，有且只有一对实数1、2；使得a1e12e2。2、向量的模：a＝aa＝x2y2；非零向量a与b的夹角：cosabx1x2y1y2

12、a

13、

14、b

15、x12y12x22y223、向量平行：a∥babx1y2x2y1；向量垂直：a⊥bab0x1x2y1y20四、基础训练（1）已知a2,b3，且ab4，则向量b在向量a上的投影为（2）已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y=_________.（3）非零向量a和b满足：

16、a

17、

18、b

19、

20、ab

21、，则a与ab的夹角等于.五、典例讲解.a(1,2)，BCb(3,2)，CD(

22、6,4)（）证明：例1.已知ABA,B,D三点共1线.（2）k为何值时，①向量kab与a3b平行②向量kab与a3b垂直例2、平面内有向量OA（1，7），OB（5，1），OP（2，1），点Q为直线OP上一动点，1）求QAQB取最小值时，点Q的坐标2）当点Q满足1）的条件和结论时，求cosAQB的值。例3.已知向量a(sin,1)，b(1,cos)，(,)22（1）若ab求的值。（2）求ab的最小值.（3）求函数yf()=a·b的单调增区间六、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0），B（x

23、，6），P（3，4），且AP=PB，x和的值分别为()A．-7，2B．5，2C．-7，2D．5，2552、向量a，b满足a6，b10，则ab的取值范围是．3、已知a6，b8，ab10，则ab．4、已知ae1+e2，b２e1－e2，则向量a+2b与2a－b（）A、一定共线B、一定不共线C、仅当e1与e2共线时共线D、仅当e1=e2时共线5、已知ABC顶点A（―1，1），B（2，3）及重心坐标G（1，1），则顶点C的坐标22为__________6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且PA2OP，又P是线段

24、OB的中点，则点B的坐标是7、已知

25、a

26、=

27、b

28、，ab，且（a+b）（ka-b），则k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知a(1,2),b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P为一动点，及OPOAtAB，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。10、已知a1，b2，且a与b的夹角为600（1）求ab，(a2

29、b)2，a3b（2）证明：ab与a垂直11、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）（1）若

30、c

31、=25，且c‖a，求c的坐标（2）若

32、b

33、=5，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角.212、已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，（Ⅰ）判断BPCQAPCB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求BPCQ的最大值．PAQBC