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1、数学必修4平面向量复习一、基本概念:1、向量:既有大小又有方向的量叫向量.2、单位向量:长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量aa0a3.平行向量:若非零向量a,b方向相同或相反,则a//b;规定零向量与任一向量平行4、向量相等:ab模相等,方向相同;相反向量:ab模相等,方向相反5、两个非零向量a、b的夹角:做OA=a;OB=b;AOB叫做a与b的夹角。6、坐标表示:i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量,若axiyj,则x,y叫做a的坐标。7.向量a在b方向上的投影:设为a、b的夹角,则acos为a在b方向
2、上的投影二、基本运算:运算向量形式坐标形式:ax1,y1;bx2,y2加法<1>平行四边形法则:起点相同,对角x2,y1y2线为和向量。a+b=x1<2>三角形加法法则:首尾相连记:ABBCAC减法起点相同的两个向量的差,(箭头指向被减x2,y1y2a-b=x1向量)记:OAOBBAABACCB数乘
3、
4、
5、a
6、ax1,y1a是一个向量,a方向:0时,与a同向;0时,与a反向;0时,a0数量积a·b=x1x2y1y2a·b=
7、a
8、
9、b
10、cos三、基本定理、公式:1、平面向量基本定理:若e1与e2不共线,则对平面内的任意一个向
11、量a,有且只有一对实数1、2;使得a1e12e2。2、向量的模:a=aa=x2y2;非零向量a与b的夹角:cosabx1x2y1y2
12、a
13、
14、b
15、x12y12x22y223、向量平行:a∥babx1y2x2y1;向量垂直:a⊥bab0x1x2y1y20四、基础训练(1)已知a2,b3,且ab4,则向量b在向量a上的投影为(2)已知A(3,y),B(5,2),C(6,9)三点共线,则y=_________.(3)非零向量a和b满足:
16、a
17、
18、b
19、
20、ab
21、,则a与ab的夹角等于.五、典例讲解.a(1,2),BCb(3,2),CD(
22、6,4)()证明:例1.已知ABA,B,D三点共1线.(2)k为何值时,①向量kab与a3b平行②向量kab与a3b垂直例2、平面内有向量OA(1,7),OB(5,1),OP(2,1),点Q为直线OP上一动点,1)求QAQB取最小值时,点Q的坐标2)当点Q满足1)的条件和结论时,求cosAQB的值。例3.已知向量a(sin,1),b(1,cos),(,)22(1)若ab求的值。(2)求ab的最小值.(3)求函数yf()=a·b的单调增区间六、巩固练习1.已知平面内三点A(-1,0),B(x
23、,6),P(3,4),且AP=PB,x和的值分别为()A.-7,2B.5,2C.-7,2D.5,2552、向量a,b满足a6,b10,则ab的取值范围是.3、已知a6,b8,ab10,则ab.4、已知ae1+e2,b2e1-e2,则向量a+2b与2a-b()A、一定共线B、一定不共线C、仅当e1与e2共线时共线D、仅当e1=e2时共线5、已知ABC顶点A(―1,1),B(2,3)及重心坐标G(1,1),则顶点C的坐标22为__________6.已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且PA2OP,又P是线段
24、OB的中点,则点B的坐标是7、已知
25、a
26、=
27、b
28、,ab,且(a+b)(ka-b),则k的值是()A.1B.-1C.0D.-28、已知a(1,2),b(1,1),且a与ab的夹角为锐角,则实数的取值范围为_____________________9、已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),P为一动点,及OPOAtAB,(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由。10、已知a1,b2,且a与b的夹角为600(1)求ab,(a2
29、b)2,a3b(2)证明:ab与a垂直11、已知:a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2)(1)若
30、c
31、=25,且c‖a,求c的坐标(2)若
32、b
33、=5,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.212、已知等边三角形ABC的边长为2,⊙A的半径为1,PQ为⊙A的任意一条直径,(Ⅰ)判断BPCQAPCB的值是否会随点P的变化而变化,请说明理由;(Ⅱ)求BPCQ的最大值.PAQBC