高中数学竞赛讲义-向量与向量方法 新人教A版

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1、§10向量与向量方法（一）1．（2004年上海春季高考题）在ΔABC中，有命题①；②；③若，则ΔABC为等腰三角形；④若，则ΔABC为锐角三角形.上述命题正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④2．已知O为坐标原点，＝(－1，1)，＝(－5，－5)，集合A＝{

2、

3、RN

4、＝2}，、∈A，，则·＝_________________.3．已知向量＝－1+32+23，＝41－62+23，＝－31+122+113，问能否表示成＝λ1+λ2的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．4．已知，是两非零向量，若+3与7－5垂直，－4与7－2垂直，试求，　的夹角．5．设向量，满足

5、

6、＝

7、

8、＝

9、1及

10、3－2

11、＝3.求

12、3+

13、的值.引申已知向量，满足

14、

15、＝

16、

17、＝r，R，试求的值.6．设A、B、C、D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A(，)，B(，)，C(，)，D(，)，且它们中任意三点不共线．试证明：四边形ABCD为正方形的充要条件为(－，－)＝(－，－)，OPP1P4P3且(－)(－)+(－)(－)＝0.7．如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：为定值.8．如图，设P1，P2，P3，…，Pn，是圆O内接正n边形的顶点，P是圆O上的任意点，求证：为定值.9．空间有十个点A1，A2，…，A10，试求一个点P，使为最小.10．如图，空

18、间四边形ABCD中，点E分及点F分所成的比均为，则.yxO11．一个物体受到同一个平面内三个力、、的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中

19、

20、＝2N，方向为北偏东30°；

21、

22、＝4N，方向为东偏北30°；

23、

24、＝6N，方向为西偏北60°，求合力所作的功.PF·BCDENMA12．设M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且＝，若B、M、N共线，求的值.13．如图，在ΔOAB中，，，AD与BC交于M点，设，.(1)用，表示；(2)已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，，求证：.DABCEFOM14． （2002年高考试题）已知两点M(－1

25、，0)，N(1，0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标是(，)，为与的夹角，求tan．