竞赛中向量和向量方法

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1、向量和向量方法李智伟林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1）共线向量定理：存在唯一的实数使得．（2）平面向量基本定理：设向量为平面内两个不共线的向量

2、，则对于平面内任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数对使得．（3）若，则三点共线的充要条件是．定比分点公式：若点在直线上，且，为任意一点，则．（4）对于向量，．（5）设为两个向量，则，．（6）空间向量基本定理：设向量为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数组使得．若，则四点共面的充要条件是．（7）两向量的夹角公式：；向量模长公式：；点到平面的距离公式：（其中是以点为起点，以平面内任意一点为终点的一个向量，是平面的一个法向量）．（8）三角形中“四心”的向量形式：重心：若为的重心，则；垂心：若为的垂心，则(1)；(2)；外心：若为的外心，

3、则；结合垂心有：；内心：若为的内心，则．第9页二、赛题分析：§１几何中的运用例1.（2004年全国高中联赛）设点在的内部，且有，则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【分析及解答】思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量．如图1，取中点，中点，则有，，故，即，所以三点共线且，故选C．【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广．思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：为三角形的重心的充要条件是，于是可以考虑构造满

4、足此形式的三个向量．如图2，延长到点和点，使得，故由已知有：，即为的重心，所以故选C．【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广．【拓展】命题：设点在的内部，则第9页成立的充要条件是．命题证明与思路2类似，设，则，故为的重心，由得．推论１：设点在的内部，则（*）．对（*）可以有以下的理解：由得………………（1）……（2）若设即为平面内不共线的三个单位向量．（2）化为……（3）注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明．推论２：设点在的内部，若，若(1)，则为的

5、重心，反之也成立；(2)，则为的外心，反之也成立；(3)，则为的内心，反之也成立；(4)，则为的垂心，反之也成立．注：由平面向量基本定理知，对于给定的内部的任意一点，中的的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值．例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足，则的取值（　　）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个【分析及解答】题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：来处理．注意到，由于，第9页故只有一个值0．故选A．【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，

6、当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直．用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势．类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线．例3.（2006年全国高中联赛）已知，若对任意，，则的形状是（）A．必为锐角三角形B．必为钝角三角形C．必为直角三角形D．不确定【分析及解答】思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于的任意性，故可考虑取适

7、当的将原式化为与向量相关的不等式．令，点作于，由令代入上式得：从而有，由此得．故选C．【说明】此处令的目的是化为，将两个向量的模长统一，由结合距离的定义即得．思路２：思路１中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直接考虑条件的几何意义来证明．（）的几何意义：表示以为终点，起点在直线上的所有向量（如图3）．则说明为这些向量的最小值，故由距离最小性得，故选C．第9页思路３：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代数问题求解．由得，即．于是，．所以关于的二次不等式应满足，．故选C．【说明】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的