打一份~竞赛中的向量和向量方法.pdf

《打一份~竞赛中的向量和向量方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、向量和向量方法李智伟林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究．一、有关知识：（1）共线向量定理：abb0()存在唯一的实数使得a=b．（2）平面向量基本定理：设向量ee,为平面内两

2、个不共线的向量，则对于平12面内任意一个向量a，有且仅有唯一的有序实数对,使得aee．121122（3）若OPOAOB(,R)，则PAB,,三点共线的充要条件是1．定比分点公式：若点P在直线AB上，且APPB，O为任意OAOB一点，则OP．1（4）对于向量a=(,),xyb(,xy)，abab00xxyy．11221212（5）设ab,为两个向量，则ababab，abab．（6）空间向量基本定理：设向量eee,,为空间中三个不共面的向量，则对于123空间中任意一个向量a，有且仅有唯一的有序实数组,,使得123

3、aeee．112233若OPOAOBOC(,,R)，则PABC,,,四点共面的充要条件是1．ab（7）两向量的夹角公式：cosab,；向量模长公式：aaa；点Aaban到平面的距离公式：d（其中a是以点A为起点，以平面内任意n一点为终点的一个向量，n是平面的一个法向量）．（8）三角形中“四心”的向量形式：重心：若G为ABC的重心，则GAGBGC0；垂心：若H为ABC的垂心，则(1)HAHBHBHCHCHA；(2)222222HABCHBCAHCAB；1122外心：若O为ABC的外心，则AOABABAOAC

4、,AC；22结合垂心有：OHOAOBOC；内心：若I为ABC的内心，则BCIACAIBABIC0．第1页二、赛题分析：§１几何中的运用例1.（2004年全国高中联赛）设O点在ABC的内部，且有OA2OB3OC0，则ABC的面积与AOC的面积之比为（）35A．2B．C．3D．23【分析及解答】思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量．如图1，取BC中点D，AC中点E，则有OBOC2OD，AOAOC2OE，E故OA2OB3OCOAOC2(OBOC)0，O即20ODOE，BC所以ODE、、三点共线且2

5、ODOE，D图12S22SSAOCCOECDE32112.SSABCABC343故选C．【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广．思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：G为三角形的重心的充要条件是GAGBGC0，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量．如图2，延长OBOC,到点B和点C，使得OB2OBOC,3OC，故由已知有：OAOBOC0，A即O为ABC的重心，所以SAOCSCOBSBOA,又SSAOC3,AOCOS

6、COB23SCOB6SCOB,CBSSBOA2,BOABCS:S:S213::,图2AOCCOBBOA1SS.AOCABC3故选C．【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广．【拓展】命题：设P点在ABC的内部，则PAPBPC0(0,i1,2,3)成立的123i第2页充要条件是::S:S:S．123BPCCPAAPB命题证明与思路2类似，设PAPAPB,,PBPCPC，123则PAPBPC0，故P为ABC

7、的重心，SBPCSCPASAPB,由SBPC23SBPC,SCPA31SCPA,SAPB12SAPB,得S:S:S::．BPCCPAAPB123推论１：设P点在ABC的内部，则SPASPBSPC0（*）．BPCCPAAPB对（*）可以有以下的理解：11Sbcbcsinbc,,BPC2211由Scacasinca,,(其中PAaPB,bPC,