北师大版(文科数学)第06讲计数原理-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编名师精编单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第06讲：计数原理1、（2010一试8）方程xyz2010满足xyz的正整数解(x,y,z)的个数是.【答案】336675易知1310036k20091004，所以6k20091004310031200610052009321200610052004，即k1003335334335671.从而满足xyz的正整数解的个数为11003335671336675.2、（2011一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项

2、目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）【答案】15000【解析】由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有C735!C515!3600种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有1(C272C52)5!C525!11400种方案；所以满足题设要求的方案数为36001140015000．[:学]1n3、（2011一试8）已知anC200n200n(n1,2,,95)，则数列{an}中整数项的个数为．362【答案】15200n4005n【解析】anC200n3326．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯要使an(1n95)整数，必有200n,4005n均整数，从而6

4、n4．36当n2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80，200n和4005n均非整数，36所以an整数，共有14个．当n86，a86C8620033825，在C86200200!中，200!中因数2的个数86!114!200200200200200200200197，2222324252627同理可算得86!中因数2的个数82，114!中因数2的个数110，所以C20086中因数2的个数197821105，故a86是整数．当n92，92

5、C92336210，在C92200!中，同可求得92!中因数2的个数88,108!200200a92!108!中因数2的个数105,故C86200中因数2的个数197881054，故a92不是整数．因此，整数的个数14115．[:+]4、（2013一6）从1,2，⋯，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相数的概率.【答案】2323235、（2015一8）四位数abcd(1a9,0b,c,d9),若ab,bc,cd,称abcd为P数,若ab,bc,cd,称abcd为Q数,用N(P)与N(Q)分表示P数与Q数的个数,则N(P)N(Q)的【答案】285【解析】分P数、Q数的全体A,B，再

6、将个位数零的P数全体A0,个位数不等于零的P数全体A1.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对任一四位数abcdA1,将其对应到四位数dcba,注意到ab,bc,cd1,故dcbaB.反之，每个dcbaB唯一对应于A1中的元素abcd.这建立了A1与B之间的一一对应，因此有N(P)N(Q)

7、A

8、

9、B

10、

11、A0

12、

13、A1

14、

15、B

16、

17、A0

18、.下面计算

19、A0

20、:对任一四位数abc0A0,b可取0,1，，9，对其中每个b,由ba9及bc9知，a和c分别有9-b种取法，从而

21、A0

22、=9b)29k291019285.因此，N(P)N(Q)285

23、.(9b0k166、（2016一8）a1,a2,a3,a4是1，2，⋯，100中的4个互不相同的数，足(a11a22a32)(a22a32a42)(a1a2a2a3a3a4)2的有序数(a1,a2,a3,a4)的个数.【答案】40先考nm的情况.此a4a1(n3a1n333a1正整数.相地，a1,a2,a3,a4)m3，注意到m,n互素，故lm3m分等于3223nml,,,nl.q1，足mnlmnl，它均正整数表明，任意定的m条件并以q公比的等比数列a1,a2,a3,a4的个数，即足不等式n3l100的正整数l的个数，即[100].n32,3,3,4,4由于53100，故需考q些情况，

24、相的等比数列的个数233⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[100][100][100][100][100]12331120.827276464当nm时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4.综上可知，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4).学7、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数