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《第06讲 计数原理-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第06讲：计数原理1、（2010一试8）方程满足的正整数解的个数是.【答案】336675[来源:Z#xx#k.Com]易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.2、（2011一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）【答案】15000【解析】由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有种
2、方案；所以满足题设要求的方案数为．[来源:学科网ZXXK]3、（2011一试8）已知C，则数列中整数项的个数为．【答案】15【解析】C．要使为整数，必有均为整数，从而．当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．当时，C，在C中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数．当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．
3、因此，整数项的个数为．[来源:学+科+网]4、（2013一试6）从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.【答案】[来源:Zxxk.Com]5、（2015一试8）对四位数,若,则称为类数,若,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则的值为【答案】285【解析】分别记P类数、Q类数的全体为A,B，再将个位数为零的P类数全体记为,个位数不等于零的P类数全体记为.6、（2016一试8）设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足则这样的有序数组的个数为.【答案】40先考虑的情况.此时，注意到互
4、素，故为正整数.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即.由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为.当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列.综上可知，共有40个满足条件的有序数组.学科*网7、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.[来源:学§科§网Z§X§X§K]【答案】75【解析】考虑平稳数.若b=0,则a=1,8、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正
5、n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a的边有条，，标有b的边有条，．选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为．①这里我们约
6、定．当n为奇数时，，此时．②代入①式中，得．当n为偶数时，若，则②式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种．
