第02讲 初等数论-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编.doc

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1、2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲：初等数论1、（2010一试8）方程满足的正整数解的个数是.【答案】336675易知，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.2、（2011一试8）已知C，则数列中整数项的个数为．【答案】15【解析】C．要使为整数，必有均为整数，从而．当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．当时，C，在C中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110

2、，所以C中因数2的个数为，故是整数．当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．因此，整数项的个数为．3、（2015一试8）对四位数,若,则称为类数,若,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则的值为【答案】285学科@网4、（2016一试8）设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足则这样的有序数组的个数为.【答案】40【解析】由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列.于是问题等价于计算满足…的等比数列的

3、个数.设等比数列的公比，且为有理数.记，其中为互素的正整数，且.先考虑的情况.此时，注意到互素，故为正整数.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即.由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为.当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列.综上可知，共有40个满足条件的有序数组.5、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.【答案】756、（20

4、09二试3）设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．【解析】证法一：对任意正整数，令．我们证明．设是的任一素因子，只要证明：p/

5、．若p/

6、k!，则由．及，且pα+1/

7、k!，知且/

8、．从而p/

9、．证法二：对任意正整数，令，我们证明．设是的任一素因子，只要证明：p/

10、．若p/

11、k!，则由．即不整除上式，故p/

12、．若，设使，但．．故由,及，且pα+1/

13、k!，知且/

14、．从而p/

15、．7、（2009二试4）在非负数构成的数表[来源:学科网ZXXK]中每行的数互不相同，前6列中每列的

16、三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个使⑶．求证：（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列．（ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表仍然具有性质．【解析】（ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，，，中至少有两个值取在同一列．不妨设，．

17、由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字．下面证明数表具有性质．从上面的选法可知，．这说明，．又由满足性质．在⑶中取，推得，于是．下证对任意的，存在某个，2，3使得．假若不然，则，，3且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质．下证唯一性．设有使得数表具有性质，不失一般性，我们假定⑷．由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者．如果成立，由数表具有性质，则，⑸，．由数表满足性质，则对于至少存在一个使得．由及⑷和⑹式

18、知，，．于是只能有．类似地，由满足性质及可推得．从而．学*科网8、（2010一试11）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的.不妨设，则，，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.9、（2010二试2）设k是给定的正整数，．记，．证明：存在正整数m，使得为一个整数．这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，．【解析】记表示正整数n所含的2的幂次．则当时，为整数．下面我们对用数学归纳法．当时，

19、k为奇数，为偶数，此时为整数．假设命题对成立．对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1，．于是，①这里.显然中所含的2的幂次为．故由归纳假设知，经过f的v次迭代得到整数，由①知，是一个整数，这就完成了归纳证明．10、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？设标有a的边有条，，标有b的边有条，．选取条边标记a的有种方