利用法向量求距离5

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1、利用空间向量求距离5一、1．求空间中两点A，B的距离时，利用

2、AB

3、＝

4、

5、＝2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n为l1与l2的公垂线AB的方向向量，d＝

6、

7、＝.3．点B到平面α的距离：

8、

9、=.(如图(2)所示)4．面与面的距离可转化为点到面的距离.二、基础自测1.若O为坐标原点，=（1，1，2），=（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（）A.B．2C.D.2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)A．B.C.D.3．在正方体ABCD—A1B1C1

10、D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是________．三、例题精讲例1．已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点．(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．【小结】　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．　例2.四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°平面PBD⊥平面PAC，求点A到平面PBD的距离;例3.如图，四面体ABCD中，O、E分别是B

11、D、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。课后练习.在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.参考答案1.D2.B3．解析如图所示建立空间直角坐标系,设n为异面直线公垂线的方向向量,并设n=(x,y,z),则有易求得n=（1，2，1），∴d=＝＝＝.例1．已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点．(1)求证：平面B1EF⊥

12、平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离．(1)证明　建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2，2，0)，E(2，，0)，F(，2，0)，D1(0,0,4)，B1(2，2，4)．＝(－，，0)，＝(2，2，0)，＝(0,0,4)，·＝0.∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD＝D，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解由（1）知==，=,设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)，则n⊥,n⊥，即n·=（x，y，z）·＝－x＋y＝0，n·＝(x，y，z)·(0，－，－4)＝－y

13、－4z＝0.令x＝1，则y＝1，z＝－，∴n＝.∴D1到平面B1EF的距离＝＝例2.四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD⊥平面PAC，(1)求点A到平面PBD的距离;(2)求异面直线AB与PC的距离.(1)解以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），P（3，0，2）.设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.由n1⊥，n1⊥，可得n1=（1，0，）.（1）=（，0，0），点A到

14、平面PBD的距离,,例3.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设点E到平面ACD的距离为在中，而点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB

15、与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量。又点E到平面ACD的距离