利用法向量求空间角和距离

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1、专题利用法向量求空间角和距离（一）如何求法向量1.法向量：在空间几何中，如果一个向量所在直线垂直于一个平面，我们就说该向量是这个平面的一个法向量，平面α的法向量n是求线线角，线面角，面面角和点到平面距离的必备工具，那么如何求一个平面的法向量呢？2.方法：由n⊥α可知，要求法向量n，只需在平面α上找出两个不共线向量a,b，通过解方程组得到，需注意的是平面α的法向量不是唯一的，一般取一个研究即可.有时也可先证明某一条直线是平面的垂线，在平面的垂线上取一个向量即为法向量.3.例题例1棱长为1的正方体ABCD-

2、A1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900,侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，建立适当的空间直角坐标系，求平面ABD的法向量及平面AED的法向量.小结：动手试试：已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GD=2，建立适当的空间直角坐标系，求平面EFG的法向量.（二）利用向量法求空间角1.求线线

3、角的大小结论1：异面直线a与b所成角为θ，且A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,则cosθ=

4、

5、.例3.在正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2，高为1，求异面直线BE与VA所成的角.小结：2.求线面角的大小结论2：设θ为直线l与平面α所成的角，m为l的方向向量，n为平面α的法向量，则有sinθ=

6、

7、.例4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，求AB1与侧面ACC1A1所成的角的余弦值.小结：3.求二面角的大小结论3：设n1,n2分别为平面α,β的法向量，二面

8、角α-l-β的大小为θ，若θ为锐角,则cosθ=

9、

10、；若θ为钝角,则cosθ=-

11、

12、；若θ为直角,则cosθ=0.例5.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC，求二面角B1-AD-B大小.小结：（三）利用向量求空间距离1.求点点距离例6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，M,N分别为BD1和CC1的中点.求证MN为BD1,CC1的公垂线并求MN的长.小结：2.求点面距离结论4：若A为平面α外一点，B为平面内一点，则点A到平面的距离d=

13、·

14、

15、=，其中n为平面α的法向量.例7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求点B到平面ACB1的距离.小结：3.求异面直线间的距离结论5：若A∈a,B∈b,则异面直线a,b间的距离为d=

16、·

17、=,其中n为a,b的公垂线的方向向量.例8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.求直线AB1与A1C1的距离.小结：动手试试：1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM所成的角.2设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，

18、且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,求AD与平面BCD所成的角.3已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，求以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值.4正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,求这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数.5已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2.(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证二面角B—P

19、C—D为直二面角6设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，求(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角A—BD—C的大小7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角(1)求证平面ABD⊥平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角A—BD—C的大小8正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE

20、=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，求点M到直线EF的距离.9三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，求A1C1与l的距离.10空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，求P与Q的最短距离.11如右图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，求EF与平面ABCD的距离.12