考研数学所有知识点总结.docx

《考研数学所有知识点总结.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、考研数学知识点-高等数学一.函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）y=∫0xf(t)dt，其中f(t)连续，则dydx=f(x)（2）y=∫ϕϕ12((xx))f(t)dt，其中ϕ1(x)，ϕ2(x)可导，f(t)连续，则dydx=f[ϕ2(x)]ϕ2′(x)−f[ϕ1(x)]ϕ1′(x)2．两个无穷小的比较设limf(x)=0，limg(x)=0，且limgf((xx))=l（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l≠0，称f(x)

2、与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)3．常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x1−cosx~12x2，ex−1~x，ln(1+x)~x，(1+x)α−1~αx二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正整数），则limxn=A存在，且A≥mn→∞（2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正整数），

3、则limxn=A存在，且A≤Mn→∞准则2．（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)=A3．两个重要公式公式1．limsinx=1x→0x1n1u公式2．lim1+=e；lim1+=e；nun→∞u→∞1lim(1+v)v=ev→04．用无穷小重要性质和等价无穷小代换5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当x→0时，ex=1+x+x2+Λ+xn+0(xn)2!n!sinx=x−x3+x5+Λ+(−1)nx2n+1+0(x2n+1)(2n+1)!

4、3!5!cosx=1−x2+x4−Λ+(−1)nx2n+0(x2n)(2n)!2!4!ln(1+x)=x−x2+x3−Λ+(−1)n+1xn+0(xn)n23arctanx=x−x3+x5−Λ+(−1)n+1x2n+1+0(x2n+1)352n+1(1+x)α=1+αx+α(α−1)x2+Λ+α(α−1)Λ[α−(n−1)]xn+0(xn)2!n!6．洛必达法则法则1．（00型）设（1）limf(x)=0，limg(x)=0（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在（3）limf′((x))=A（或∞）g′x则lim

5、gf((xx))=A（或∞）f′(x)（注：如果limg′(x)不存在且不是无穷大量情形，则f(x)不能得出limg(x)不存在且不是无穷大量情形）法则2．（∞∞型）设（1）limf(x)=∞，limg(x)=∞（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在1Editedby杨凯钧2005年10月考研数学知识点-高等数学（3）limf′((x))=A（或∞）g′x则limgf((xx))=A（或∞）7．利用导数定义求极限基本公式：limf(x0+∆x)−f(x0)=f′(x0)[如果∆x→0∆x存在]8．利用定积分定义求

6、极限1nk1f(x)dx[如果存在]基本公式limf=∫0nk=1n→∞n∑三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x0是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1．（有界定理

7、）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界。定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下：定义设f(x0)=M是区间[a,b]上某点x0处的函数值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)≤M，则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最小值m。定理3．（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数

8、c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得f(ξ)=c推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f(ξ)=0这个推论也称为零点定理五．导数与微分计算1．导数与微分表(c)′=0d(c)=0(xα)′=αxα−1（α实常数）d(xα)=αx