资源描述：
《高等数学考研知识点总结5.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。3、了解定积分中值定理。二、内容提要1、介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.（2）零点定理设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=02、罗尔定理若函数f(x)满足：（1）f(x
2、)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导（3）f(a)f(b)则一定存在(a,b)使得f'()03、拉格朗日中值定理若函数f(x)满足：（1）f(x)在a,b上连续（2）f(x)在(a,b)内可导则一定存在(a,b)，使得f(b)f(a)f'()(ba)4、柯西中值定理若函数f(x),g(x)满足:（1）在a,b上连续（2）在(a,b)内可导（3）g'(x)0f(b)f(a)f'()则至少有一点(a,b)使得g(b)g(a)g'()15、泰勒公式如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶导数则当x在(a
3、,b)内时f(x)可以表示为xx0的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即f(x)f(x0)f(x0)(xx0)1f(x0)(xx0)21f(n)(x0)(xx0)nRn(x)f(n1)()2!n!R(x)(xx)n1n(n1)!0(介于x0与x之间)其中在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、积分中值定理若f(x)在[a、b]上连续，
4、则至少存在一点c∈[a、b]，使得bf(x)dx=f(c)(b-a)a三、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使f()0或方程f(x)=0有根）方法：大多用介值定理f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设f(x)在[a,b]上连续，ax1x2xnb,ci0(i1,2,,n)，证明存在[a,b]，使得c1f(x1)c2f(x2)cnf(xn)f()c2cnc12例2、设ba0,f(x)在[a,b]上连续、单调递增，且f(x)0，证明存在(a,b)使得a2f(
5、b)b2f(a)22f()*例3、设f(x)在[a,b]上连续且f(x)0，证明存在(a,b)使得b1bf(x)dx。f(x)dxf(x)dx2aa.例4、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明存在(a,b)使得bg()f(x)dxf()g(x)dxa例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明：2x1在内有且仅xf(t)dt(0,1)0有一个实根。3例6、设实数a1,a2,,an满足关系式a1a2(1)n1an0，证明方程32n1a1cosxa2cos3xancos(2n1)x0，在(0,)内至少有一实根。2例7
6、、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[a,b]使得bbf(x)g(x)dxf()g(x)dxaa题型二、验证满足某中值定理3x2,x1例8、验证函数f(x)2，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求1,x1x满足定理的4题型三、证明存在,使f(n)()0(n=1,2,⋯)方法：1、用费马定理2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）3、用泰勒公式思路：可考虑函数f(n1)(x)例9、设f(x)在[a,b]上可导且f(a)f(b)0，证明至少存在一个(a,b
7、)使得f()0例10、设f(x)在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明存在一个(0,3)使得f()0*例11、设f(x)在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且limf(x)1(0,2)使得f()00,2f(x)dxf(2)，证明存在1cosx1x225题型四、证明存在,使G(,f(),f())0方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）思路：1）换为x2）恒等变形，便于积分3）积分或解微分方程4）分离常数：F(x
8、,f(x))CF(x,f(x))即为辅助函数(1)用罗尔定理1)原函数法:步骤：将换为x;恒等变形，便于积分；求原函数，取c=0；移项，得F(x).例12、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)0(x(
