高等数学考研知识点总结(5)

《高等数学考研知识点总结(5)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二讲导数与微分一、考试要求1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解(了解)导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（经济意义，含边际和弹性），会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4、会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程（*）所确定的函数及反函数的导数。二、内容提要1、导数与微分的定义（1

2、）导数的定义：（2）左右导数：（3）几何意义：切线法线（4）微分的定义：若则dy=A2、导数与微分的运算法则3、求导方法（1）复合函数求导：设y=f(u),u=j(x),则y=f[j(x)]Þ（2）参数方程求导：,（3）隐函数F(x,y)=0求导：三种方法：直接求导、公式法、微分形式不变性（4）对数求导(适用于幂指函数、多项连乘除的情形）(5)高阶导数(6)抽象函数、隐函数求二阶导数三、重要公式与结论1、10一般地，1)2)3)这里2、f(x)在x处可微Ûf(x)在x处可导Û3、若f(x)在x=处连续，且若fˊ(x)在x=处连续，且若f″(

3、x)在x=处连续，且若f(x)在x=处连续，且若f(x)在x=处连续，且不存在4、可导的偶（奇）函数，其导函数为奇（偶）函数.可导的周期函数，其导函数为同周期的函数.5、注：在处有则（一阶微分方程）6、可微可导连续7、设，则在处可导的充分必要条件为设，则在处可导的充分必要条件为8、常见导数不存在的情形1）、在x=处导数不存在，但在处可导2），在x=0处当α>1时导数存在；α≤1时导数不存在.四、典型题型与例题题型一、有关导数的定义及性质1、分段函数在分界点处的导数2、已知极限求，或已知求极限101、涉及抽象函数的导数2、抽象函数没给出可导的

4、条件，考察在某点处的可导性或导函数例1、设，则在处可导的为（）（A）存在（B）存在（C）存在（D）存在例2、设在处连续，且，则（）例3、（0634）设在处连续，且，则（A）且（B）且（C）且（D）且例4、(04123)设函数连续，且，则存在，使得（A）在内单调增加（B）在内单调减少（C）对（D）对10例5、设是以4为周期的函数，且，则例6、设可导，自变量在处取得增量时相应的函数增量的线性主部为0.1，则（）（A）-1（B）0.1（C）1（D）0.5例7、设函数f(x)在x=1处连续，且是周期为2的周期函数，满足求曲线y=f(x)过点x=-1

5、处的切线方程为例8、曲线与曲线相切，则=(A)4e(B)3e(C)2e(D)e【】10题型二、分段函数的导数方法：1、利用2、设，则在处可导的充分必要条件为3、设，则在处可导的充分必要条件为例9、设在处可导，求例10、设，则在处（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但在不连续（D）可导且在连续例11、求函数的不可导点。10例12、（034）设，其中在处连续，则是在处可导的（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件题型三、变限积分求导方法：1、2、若被积表达式中含有，提出再令，使被积表达式中不含

6、有。例13、求例14、.设求.10例15、设连续，（为常数），求，并讨论在处的连续性题型四、利用导数公式及法则求导1、熟记16个求导公式2、四则运算法则3、反函数求导法则4、复合函数求导法则5、隐含数求导法则6、参数方程所确定函数的导数（极坐标）注：1、直接求导或微分2、多项乘积的导数可考虑对数求导法3、区别例16、设方程确定y是x的函数，求103、公式法例17、设函数由确定，求例18、（022）已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应处的切线与法线的直角坐标方程。题型六、高阶导数方法：1、数学归纳法2、重要函数的高阶倒数公式3、莱布尼兹公式

7、4、幂级数展开（泰勒公式）例19、（0023）求的。法一、用莱布尼兹公式，时10时，法二、泰勒公式例20、（102）函数处的阶导数=.【答案】应填.【分析】利用函数的高阶导数公式.【详解】.令，得所求n阶导数为,故应填.【评注】此题也可用的麦克劳林展开式，比较系数得到结果.题型七、隐函数求导、参数方程确定函数的求导例21、（103）设可导函数y=y(x)由方程确定,则=_______.10例22、（101）设，求.10