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1、@第十讲常微分方程一、考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。会解伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y//=f(x,y/)和y//=f(y,y/).3、掌握(会解)二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。4、理解(了解)线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分
2、方程。5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。6、掌握一阶常系数线性差分方程的解法。7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。8、会解欧拉方程。9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。二、内容提要（一）、一阶微分方程yf(x,y),yxx0y0,y(x0)y01可分离变量微分方程yf(x,y)f(x)g(y)或f(x)dxg(y)dy0直接积分：f(x)dxg(y)dyC2齐次方程yf(y),uyxx3一阶线性微分方程yp(x)yq(x)或xp(y)xq(y)yp(x)dx[p(x)dxC]eq(x)edx4贝努里方程yp(x)yq(
3、x)yn,zy1n5全微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy0NMxyxyx0M(x,y0)dxN(x,y)dyCy06可用简单变量代换求解的微分方程1（二）、可降阶的高阶微分方程1y(n)f(x),连续积分n次2yf(x,y),yu3yf(y,y),yu,yduudy（三）、高阶线性微分方程1、yp(x)yq(x)yf(x)(1)yp(x)yq(x)y0(2)解的性质、结构2、常系数线性齐次方程(1)ypyqy0特征方程，特征根三种情况：1,2(2)y(n)p1y(n1)pn1ypny03、二阶常系数线性非齐次方程ypyqyf(x)(1)f(
4、x)Pn(x)ex,特解：(2)f(x)ex[acosxbsinx],特解：(3)f(x)f1(x)f2(x),特解：y*(x)y1(x)y2(x)4、欧拉方程x2yaxybyf(x)令xet,tlnxxydy,x2yd2ydydtdt2dtd2ydydyt)()abyf(edt2dtdt5、微分方程组dxa11xa12y(t)dt，一般化为二阶常系数线性微分方程求解.dya21xa22y(t)dt三、典型题型与例题题型一、一阶微分方程的求解解题步骤：(1)判断方程的类型；(2)注意xp(y)xq(y)；(3)若不能确定类型，考虑用适当的变量代换
5、.2例1、(981)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量yyx,且当x21x0时，是x的高阶无穷小量，y(0),则y(1)=.例2、求dy2xy的通解。dx例3、求(xycosy)dxxcosydy0的通解。xx例4、（99）设有微分方程y2y2,若x1(x)，其中(x),试求在(,)0,若x1内连续的函数y=y(x)，使之在(,1)和(1,)内都满足所给方程且y(0)=0.3例5、求微分方程xdy(x2y)dx0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.1例6、解微
6、分方程y2xy2;例7、xdyxsin(xy)0;dx例8、求dy4yx2y的通解.dxx4例9、求解(x2x3)dx(1)0.yxdy解1、P1Q,是全微分方程.yxA用曲线积分法:u(x,y)(x,y)2x3y)dx(1x)dy(x(0,0)(0,y)(0,y)(x,y)(0,0)(x2x3y)dxydyx3x4xyyx0034所求通解为x3x4xyyC.34B用全微分运算:(x2x3y)dx(1x)dyx2dxx3dx(ydxxdy)dyd(x3x4)d(xy)dyd(x3x4xyy))d(3434通解为x3x4xyyC.34C用偏积分法:
7、ux2x3y,u(x2x3y)dxx3x4xyC(y),x34uxC(y),又u1x,xC(y)1x,C(y)yc,yy原方程的通解为x3x4xyyC.34注：全微分方程的解法：若P(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程，则存在u(x,y)，使du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,则原方程可表为du(x,y)0u(x,y)C.原函数u(x,y)的求法:51、曲线积分法：u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy.(x0,y0)2、全微分的运算。3、偏积分法duPdxQdyuPdxC(y)P，则uxuPdxC(y)，又u
8、Q，C(y)QPdxyyyyC(y)(QPdx)dy，u.y题型二、可降阶的高阶微分方程例10、(001)微分方程xy3y0的通解为__
