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《高等数学考研知识点总结3.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三讲不定积分一、考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分的概念2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质及换元积分法与分部积分法。3．会求有理函数、三角函数有理式及简单元理函数的积分（数一、二）。二、内容提要1、概念与性质（1）原函数F(x)f(x),xI（2）不定积分f(x)dxF(x)C（3）性质：1)f(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C2)d(f(x)dx)f(x)或df(x)dxf(x)dxdx一般地，ddf(x)f(x)C3）kf(x)dxkf(x)dx4)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx(4)基本积分公式表：（1）kdxkxC（k为常数）；（2）xd
2、xx1C(1)；1（3）dxlnxC；（4）1dxarctanxC；xx2（5）dxarcsinxC；（6）cosdxsinxC；1x2（7）sinxdxcosxC；（8）dxtanxC；dxcos2x（9）cotxC；（10）secxtanxdxsecxC；sin2x（11）cscxcotxdxcscxC；（12）exdxexC；（13）axdxaxC；（14）shxdxchxC；lna（15）chxdxshxC。补：（1）secxdxlnsecxtanxC,cscxdxlncscxcotxC.（2）21x2dx1arctanxC,a21x2dx1lnaxC.aaa2aax（3）dxarc
3、sinxa2x2C.a12、主要计算方法(1)第一换元积分法f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C常用“凑”微分公式：(2)第二换元积分法f(axb)根式代换f(a2x2),f(a2x2),f(x2a2)三角代换t1倒代换x注：其它代换ext,lnxt,arcsinxt，1ext等1)当被积函数中含有a2x2时令xasint或xacost2)当被积函数中含有a2x2时令xatant或xacott3)当被积函数中含有a2x2时令xasect或xacsct14）当被积函数的分母含有变量因子x时，令x.t(3)分部积分法uvdxudvuvvdu常用分部积分法
4、：Pxekxdx,Pxaxdxn()n()sinPn(x)lnxdx,Pn(x)arcsinxdxeaxsinbxdx1)pn(x)exdx,pn(x)sinxdx,pn(x)cosxdx中pn(x)为n次多项式,一般选取upn(x)分别dvexdx,dvsinxdx,dvcosxdx2)pn(x)lnxdx,pn(x)arcsinxdx,pn(x)arctanxdx中pn(x)为n次多项式,一般分别选取ulnx,uarcsinx,uarctanx取dvpn(x)dx3)eaxsinbxdx,ebxcosbxdx中可选取ueax,分别取dvsinbxdx,dvcosbxdx,也可分别取usi
5、nbx,ucosbx,dveaxdx(4)有理函数的积分:化为部分分式（数一、二）(5)三角有理函数的积分:万能代换tanxt（数一、二）2(6)简单无理函数的积分:作变量替换（数一、二）2三、典型题型与例题题型一、基本概念与性质例1、（893）下列等式中，正确的是(A)df(x)(B)f(x)dxf(x)f(x)dxdx(C)df(x)f(x)(D)df(x)dxf(x)(dx)例2、设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则（A）当f(x)时奇函数时，F(x)必为偶函数（B）当f(x)时偶函数时，F(x)必为奇函数（C）当f(x)时周期函数时，F(x)必为周期函数（D）当f(x
6、)时单调增函数时，F(x)必为单调增函数dx例3、设xf(x)dxarcsinxc,求f(x)例4、若f'(x2)dxx4C,求f(x)题型二、凑微分法要熟记一些常见形式的凑微分，如xx1111edxdexdxdlnx,xdx2dx,x2dxdx,f(sinx)cosxf(sinx)dsinx,1darctanx以及整体凑微分等2dx1x例5、求不定积分I2x3xdx评注：本题利用了3)x33x]9xx(lndxd[()4222313(x1)2dx例6、求I2x2xxdx例7、求I1x4(arcsinx2)311x例8、求I2lndx1x1x例9、arctanxdx[1dxdarctanx]
7、x(1x)x(1x)例10、1dx3x,[ex32dex1xee2(x1)dxe1e2(x1)]e141xd(1xex)例11、x2xdx（=x2）2e2xxe1(1xe)例12、cotxdx[cotxdxdlnsinx]lnsinx题型三、有理函数的积分有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和,这四种部分分式及其不定积分如下:AAlnxaC;(1)dxxa(2)AA1C(m1);mdxm1(xm1(xa)
