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1、第十二讲向量代数与空间解析几何（数一）一、考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。人
2、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。二、内容提要（一）向量的概念及其性质1概念1)向量：既有大小又有方向的量2)向量的模：向量的大小,记为a3)向量的坐标表示：axiyjzk(x,y,z),此时ax2y2z24)单位向量：模为1的向量，a的单位向量记为a0a0a(x2x,x2yz2,zz2)ay2z2y2x2y2=(cos,cos,cos)cos,cos,cos称为a的方向余弦，且有cos2cos2cos215)设M1(x1,y1,z1),
3、M2(x2,y2,z2)是空间直角坐标系中的两点，则M1M2(x2x1,y2y1,z2z1)2向量的运算及其性质1)加减运算ab(x1x2,y1y2,z1z2)2)数乘运算ka(kx1,kx2,kx3)3)向量的数量积(1)定义：设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则ababcos(a,b)x1x2y1y2z1z2(2)性质：交换律abba;分配律a(bc)abac1与数乘运算的结合律(ab)(a)ba(b)4)向量的向量积(1)定义：cab,满足：右手法则，垂直于a与b所确定的平面设a(x1,y1,z1),
4、b(x2,y2,z2),则ijkabx1y1z1x2y2z2cababsin(a,b)(2)性质：反交换律abba;分配律a(bc)abac与数乘运算的结合律(ab)(a)ba(b)5)向量的混合积(1)定义：设a(x1,y1,z1),b(x2，(x3,y3,z3),则,y2,z2)cx1y1z1(a,b,c)(ab)cx2y2z2x3y3z3注：若a,b,c中有两个向量是成比例的，则(a,b,c)(ab)c0.(2)性质：具有轮换对称性：(a,b,c)(b,c,a)(c,a,b)两向量积互换，混合积变号，即(a,b,c)
5、(a,c,b)(c,b,a)(b,a,c)3向量之间的关系设a(x1,y1,z1),b，,则(x2,y2,z2)c(x3,y3,z3)(1)abab0x1x2y1y2z1z20(2)a//babx1y1z10y2z2x2(3)a,b共线不全为零的数,,使ab0(4)a,b,c共面不全为零的数,,,使abc0或者(a,b,c)0(5)向量a,b的夹角：cos(a,b)x1x2y1y2z1z2x12y12z12x22y22z22（二）平面与直线1平面1)平面方程1)一般式方程：AxByCzD02)点法式方程：过点M(x0,y0
6、,z0),且法向量为n(A,B,C)A(xx0)B(yy0)C(zz0)02xx1yy1zz13)三点式方程:x2x1y2y1z2z10x3x1y3y1z3z14)截距式方程:xyzab1c2)平面之间的关系设有两个平面：1:A1xB1yC1zD10,n1(A1,B1,C1)2:A2xB2yC2zD20n2(A2,B2,C2)1)1//2n1//n2n1n202)12n1n2n1n203)1与2的夹角，即为n1与n2的夹角.2直线1)直线方程①一般式方程(两平面的交线)：A1xB1yC1zD10n1(A1,B1,C1),n
7、2(A2,B2,C2)平面束方程A2xB2yC2zD20直线的方向向量为:Sn1n2②标准式方程：过点M(x0,y0,z0),且方向向量为S(,,)lmnxx0yy0zz0点、方向向量lmn③两点式方程:过点M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1)的直线方程为xx0yy0zz0两点定一直线x1x0y1y0z1z0④参数式方程:过点M(x0,y0,z0),且方向向量为S(,,)的方程lmnxx0ltyy0mt直线与平面的交点zz0nt2)直线之间的关系设有两条直线：l1:xx1yy1zz1,S1(l1,m1,n1)
8、l1m1n1l2:xx2yy2zz2,S2(l2,m2,n2)l2m2n2①l1//l2S1//S2S1S20②l1l2S1S2S1S20③l1与l2的夹角，即为S1与S2的夹角.33平面与直线间的关系直线L:xx0yy0zz0,S(l,m,n)lmn平面：AxByCzD0n(A,B,C)1)L//Sn
