高等数学考研知识点总结2.docx

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1、第二讲导数与微分一、考试要求1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解(了解)导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（经济意义，含边际和弹性），会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4、会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程（*）所确定的函数及反函数的导数。二、内容提要1、导数与微分的定义（1）导数的定义：f(x0)limf

2、(x)f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0xx0x0x（2）左右导数：f(x0)f(x0)Af(x0)A（3）几何意义：切线yf(x0)f(x0)(xx0)法线yf(x0)1(xx0)f(x0)（4）微分的定义：若yf(x0x)f(x0)Ax0(x)则dy=Axf(x)dx2、导数与微分的运算法则3、求导方法（1）复合函数求导：设y=f(u),u=(x),则y=f[(x)]yf(u)xx(t)dy（2）参数方程求导：,dxyy(t)(x)f[(x)](x)y(t),d2yd(y(t))dtx(t)dx2dtx(t)dx（3）隐函数F(x,y)=0求导：三种方法：

3、直接求导、公式法dyFx、dxFy微分形式不变性（4）对数求导(适用于幂指函数、多项连乘除的情形）(5)高阶导数(6)抽象函数、隐函数求二阶导数1三、重要公式与结论1、f(x0)limf(x)f(x0)limf(x0x)f(x0)xx0xx0x0xlimf(t)f(x0)limf(x0h)f(x0)tx0tx0h0h一般地，1)limf[g(x)]f(x0)xx0g(x)x02)limf[g(x)]f(x0)xx0xx03)limf[g(x)]f[h(x)]xx0xx0f(x0)f(x0)limg(x)x0xx0xx0g(x)h(x)f(x0)limxx0xx0这里li

4、m()lim()x0gxhxxx0xx02、f(x)在x处可微f(x)在x处可导f(x0)f(x0)3、若f(x)在x=x0处连续，且limf(x)x0xx0若fˊ(x)在x=x0处连续，且limf(x)x0xx0若f″(x)在x=x0处连续，且limf(x)x0xx0若f(x)在x=x0处连续，且limf(x)kxx0(xx0)若f(x)在x=x0处连续，且limf(x)x0)kxx0(xAf(x0)0,f(x0)AAf(x0)0,f(x0)AAf(x0)0,f(x0)AA(k1)f(x0)0,f(x0)0A(0k1)f(x0)0,f(x0)不存在4、可导的偶（奇）函

5、数，其导函数为奇（偶）函数.可导的周期函数，其导函数为同周期的函数.5、注：yf(x)在(x,y)处有yA(x,y)xo(x)则yA(x,y)（一阶微分方程）6、可微可导连续limf(x)f(x0)xx07、设f(x0)0,f(x0)，则f(x)在x0处可导的充分必要条件为f(x0)0设limg(x)，则g(x)xx0在x0处可导的充分必要条件为limg(x)0xx0xx08、常见导数不存在的情形1）、f(x)xx0在x=x0处导数不存在，但xx0(xx0)在x0处可导2）xsin1,x0,，在x=0处当α>1时导数存在；α≤1时导数不存在.2f(x)xx00,四、典型题

6、型与例题题型一、有关导数的定义及性质1、分段函数在分界点处的导数2、已知极限求f(x0)，或已知f(x0)求极限3、涉及抽象函数的导数f(x)4、抽象函数没给出可导的条件，考察在某点处的可导性或导函数例1、设f(0)0，则f(x)在x0处可导的为（）（A）lim1cosh)存在（）lim1h)存在2f(1Bf(1eh0hh0h（C）lim1f(hsinh)存在（）lim1f(h)存在Df(2h)h0h2h0h例2、设fx在x0处连续，且limex11，则f0（）x0efx1例、（）设fx在x0处连续，且limf(h2)1，则30634h2h0（A）f(0)0且f(0)（B

7、）f(0)1且f(0)（C）f(0)0且f(0)（D）f(0)1且f(0)3例4、(04123)设函数f(x)连续，且f'(0)0，则存在0，使得（A）f(x)在(0,)内单调增加（B）f(x)在(,0)内单调减少（C）对x(0,)有f(x)f(0)（D）对x(,0)有f(x)f(0)例5、设f(x)是以4为周期的函数，且fh12，则limh0f(34h)f(1)例6、设f(x)可导，yf(x2)自变量x在x1处取得增量x0.1时相应的函数增量y的线性主部为0.1，则f(1)（）（A）-1（B）0.1（C）1（D）0.5例7、